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高中數學復習------空間點線線線線平面的位置關系 一 知識要點 1點與平面的關系：點A在平面內，記作；點不在平面內，記作. ◆公理1：如果一條直線的兩點在一個平面內，那么這條直線是所有的點都在這個平面內。 （即直線在平面內，或者平面經過直線） 直線l在平面α內，記作lα。 用符號語言表示公理1： ◆公理2：經過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面。 推論;兩條平行直線確定一個平面。 ◆公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線 符號：平面α和β相交，交線是a，記作α∩β＝a。 符號語言： ◆過空間三點可確定 平面；過兩平行線可確定 平面；過一條直線和直線外一點可確定 平面. 2. 異面直線定義：不同在任何一個平面內的兩條直線. 3. 異面直線所成的角（或夾角）：過空間任意一點作兩條異面直線的平行線，這兩條平行線所成的銳角或直角。 當異面直線所成的角為直角時稱這兩條異面直線互相垂直。 4.空間兩條直線的位置關系： 公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行 等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行且方向相同，那么這兩角相等。 等角定理的推論：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，那么這兩角相等或互補。 5直線和平面平行定義：直線和平面沒有公共點。 6直線和平面的位置關系： ?直線在平面內 ?相交 ?平行； 三種位置關系的符號表示： aα a∩α＝A a∥α （后兩個統(tǒng)稱為aα） 二 典例分析 題型一 線共面問題 例1 求證：兩兩平行的三條直線如果都與第四條直線相交，那么這四條直線共面 練習1 求證：兩兩相交且不共點的四條直線共面 題型二 點與線問題 例2 （1）空間四點A、B、C、D共面而不共線，那么四點中（ ） A、 必有三點共線 B、 必有三點不共線 C、 至少三點共線 D、 不可能有三點共線 (2)下面給出四個條件：① 空間三個點；② 兩兩相交的三條直線；③ 一條直線和一個點；④ 和同一條直線相交的兩條直線。其中能確定一個平面的條件有 個。 （3）若是平面外一點，則下列命題正確的是（ ） （A）過只能作一條直線與平面相交 （B）過可作無數條直線與平面垂直 （C）過只能作一條直線與平面平行 （D）過可作無數條直線與平面平行 圖2.3 （4) O1是正方體ABCD—A1B1C1D1的上底面的中心，過D1.B1.A作一個截面， 求證：此截面與對角線A1C的交點P一定在AO1上. 題型三 空間直線的位置關系線問題 例3 （1）直線及平面，使成立的條件是（ ） A． B． C． D． （2)有下列命題① 一條直線平行于一個平面，這條直線就和這個平面內的任何直線不相交；② 過平面外一點有且只有一條直線和這個平面平行；③ 過直線外一點有且只有一個平面和這條直線平行；④ 平行于同一條直線的兩條直線和同一平面平行；⑤ a和b異面，則經過b存在唯一一個平面與平行 其中假命題的個數是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 題型四 等角定理的運用 例4 已知E,F,G,H分別是空間四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,DA的中點 （1） 求證：E,F,G,H四點共圓 （2）若四邊形EFGH是矩形，求證：ACBD 練習 (1)已知正方形A1B1C1D1點E,E1，F分別是棱AD，A1D1,BC的中點， 求證: （1）E1C1平行且等于AF (2)∠BEC=∠B1E1C1 題型五 求異面直線所成的角 例5 已知幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖和側視圖都是腰長為的等腰直角三角形，正視圖為直角梯形．求異面直線與所成角的余弦值； 練習 已知三棱錐A-BCD的各條棱都相等，M,N分別是BC,AD的中點。求異面直線MN與BD所成的角 題型六 空間直線與平面的位置關系問題 例5 （1）E，F，G分別是四面體ABCD的棱BC，CD，DA的中點，則此四面體中與過E，F，G的截面平行的棱的條數是 （ ） A．0 B．1 C．2 D．3 （2）若直線m不平行于平面，且m，則下列結論成立的是（ ） A．內的所有直線與m異面 B．內不存在與m平行的直線 C．內存在唯一的直線與m平行 D．內的直線與m都相交 （3）如下圖所示，四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，P分別為其所在棱的中點，能得到AB//面MNP的圖形的序號的是 ①②③④ （4） 如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，E，M，N，G分別是AA1， CD，CB，CC1的中點。 求證：（1）MN//B1D1 ；（2）AC1//平面EB1D1 ； （3）平面EB1D1//平面BDG. 練習 （1）在四面體ABCD中，M，N分別是面△ACD，△BCD的重心，則四面體的四個面中與MN平行的是________. （2）正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為DD中點，則BD1和平面ACE位置關系是 (3)如圖，正三棱柱的底面邊長是2，側棱長是，D是AC的中點.求證：平面. 課后鞏固 1．(人教A版教材習題改編)下列命題是真命題的是(　　) A．空間中不同三點確定一個平面 B．空間中兩兩相交的三條直線確定一個平面 C．一條直線和一個點能確定一個平面 D．梯形一定是平面圖形 2．已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b(　　)． A．一定是異面直線 B．一定是相交直線 C．不可能是平行直線 D．不可能是相交直線 3．(2011浙江)下列命題中錯誤的是(　　)． A．如果平面α⊥平面β，那么平面α內一定存在直線平行于平面β B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內一定不存在直線垂直于平面β C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面 D．如果平面α⊥平面β，那么平面α內所有直線都垂直于平面β 4．如果兩條異面直線稱為“一對”，那么在正方體的十二條棱中共有異面直線(　　)． A．12對 B．24對 C．36對 D．48對 5、（2011四川)l1，l2，l3是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是(　　) A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3 B．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3 C．l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面 D．l1，l2，l3共點?l1，l2，l3共面 6、過正方體ABCDA1B1C1D1的頂點A作直線l，使l與棱AB，AD，AA1所成的角都相等，這樣的直線l可以作(　　)． A．1條 B．2條 C．3條 D．4條 7、如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1中，M、N分別是A1B1、B1C1的中點．問： (1)AM和CN是否是異面直線？說明理由； (2)D1B和CC1是否是異面直線？說明理由． 8、正方體ABCDA1B1C1D1中．(1)求AC與A1D所成角的大?。?2)若E、F分別為AB、AD的中點，求A1C1與EF所成角的大小．