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河北保定易縣中學(xué)2017屆高三上學(xué)期周考數(shù)學(xué)（理）試卷（一） 考生須知： 1．本卷滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘； 2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫(xiě)學(xué)校、班級(jí)、姓名、試場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字。 3．所有答案必須寫(xiě)在答題卷上，寫(xiě)在試卷上無(wú)效； 4．考試結(jié)束后，只需上交答題卷。 一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合則為 （ ▲ ） A． B． C． D． 2．已知（為虛數(shù)單位），則“”是“為純虛數(shù)”的 （ ▲ ） A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 3．已知直線(xiàn)、與平面下列命題正確的是 （ ▲ ） A．且 B．且 C．且 D．且 4．為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象 （ ▲ ） A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 5．已知點(diǎn)滿(mǎn)足，目標(biāo)函數(shù)僅在點(diǎn)（1,0）處取得最小值，則的范圍為 （ ▲ ） A． B． C． D． 6．直線(xiàn)與圓交于兩點(diǎn)，則的面積為 （ ▲ ） A． B． C． D． 7.設(shè)函數(shù)，若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，則的取值集合是（ ▲ ） A． B． C． D． 8．已知平面平面，，且.是正方形，在正方形內(nèi)部有一點(diǎn)，滿(mǎn)足與平面所成的角相等，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為 ( ▲ ) A． B． C． D． 9．在平面內(nèi)，，若則的取值范圍是 （ ▲ ） A． B． C． D． 10．若集合，則集合中的元素個(gè)數(shù)是（ ▲ ） A．2016 B．2017 C．2018 D．2019 第Ⅱ卷（非選擇題 共110分） 正視圖 側(cè)視圖 俯視圖 二、 填空題: 本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分． 11．已知，，則的最大值是 ▲ . 12．某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是，則正視圖中的的值是 ▲ ，該幾何體的表面積是 ▲ . 13．設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿(mǎn)足對(duì)任意的正整數(shù)，均有，則 ▲ ，公比 ▲ . 14．在中，角分別對(duì)應(yīng)邊，為的面積.已知，，，則 ▲ ， ▲ . 15．一個(gè)口袋里裝有大小相同的6個(gè)小球，其中紅色、黃色、綠色的球各2個(gè)，現(xiàn)從中任意取出3個(gè)小球，其中恰有2個(gè)小球同顏色的概率是 ▲ .若取到紅球得1分，取到黃球得2分，取到綠球得3分，記變量為取出的三個(gè)小球得分之和，則的期望為 ▲ . 16．設(shè)雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作與軸垂直的直線(xiàn)交兩漸近線(xiàn)于兩點(diǎn)，且與雙曲線(xiàn)在第一象限的交點(diǎn)為，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，，則雙曲線(xiàn)的離心率的值是 ▲ . 17．設(shè)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為，且在區(qū)間上恰好有兩個(gè)正整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍 ▲ . 三、解答題：本大題共5小題，共74分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟． 18．（本小題滿(mǎn)分14分）已知，函數(shù)． （Ⅰ）若，求的單調(diào)遞增區(qū)間； （Ⅱ）若的最大值是，求的值． 19．（本小題滿(mǎn)分15分）如圖，在四棱錐中，底面為梯形，，，，平面，分別是的中點(diǎn). （Ⅰ）求證：平面； （Ⅱ）若與平面所成的角為，求線(xiàn)段的長(zhǎng). 20．（本小題滿(mǎn)分15分）已知，函數(shù). （Ⅰ）若函數(shù)在上遞減, 求實(shí)數(shù)的取值范圍； （Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求的最小值的最大值； （Ⅲ）設(shè)，求證：. 21．（本小題滿(mǎn)分15分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，直線(xiàn)與的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為. （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）分別過(guò)作滿(mǎn)足，設(shè)與的上半部分分別交于兩點(diǎn)，求四邊形面積的最大值. 22．（本小題滿(mǎn)分15分）已知函數(shù). （Ⅰ）求方程的實(shí)數(shù)解； （Ⅱ）如果數(shù)列滿(mǎn)足，（），是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)所有的都成立？證明你的結(jié)論． （Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)的和為，證明：． 參考答案 高三年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科 一．選擇題（共40分，每小題4分） 題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C D D B B B C D A 二．填空題（本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分．） 11. 12. 2， 13. ，2 14.6； 15. ，6 16. 17. 三．解答題（共74分，其中第18題14分，第19-22題每題15分） 18.（本小題滿(mǎn)分14分） （Ⅰ）由題意 ………… 3分 ………… 5分 由，得． 所以單調(diào)的單調(diào)遞增區(qū)間為，. ………… 8分 （Ⅱ）由題意 ， ………… 10分 由于函數(shù)的最大值為，即 ， ………… 12分 從而，又，故 ． ………… 14分 19.（本小題滿(mǎn)分15分） 解：（Ⅰ）連接交與，連接. 因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，， 所以. 又因?yàn)椋? 所以四邊形為平行四邊形， ………… 2分 所以為的中點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)， 所以. ………… 4分 又因?yàn)?，? 所以平面. ………… 6分 （Ⅱ）由四邊形為平行四邊形，知， 所以為等邊三角形，所以， ………… 8分 所以，即，即. 因?yàn)槠矫妫? 又因?yàn)?，所以平面? ………… 11分 所以為與平面所成的角，即， ………… 13分 所以. ………… 15分 20. （本小題滿(mǎn)分15分） （Ⅰ） 函數(shù)在上遞減, 恒有成立, 而,恒有成立, 而, 則滿(mǎn)足條件. ……4分 （Ⅱ）當(dāng)時(shí), － 0 ＋ ↘ 極小值 ↗ 的最小值= ……7分 ＋ 0 － ↗ 極大值 ↘ 的最大值為 ……9分 （Ⅲ） 當(dāng)時(shí)， 所以在上是增函數(shù)，故 當(dāng)時(shí)， 解得或， 綜上所述： ……15分 21.（本小題滿(mǎn)分15分） 解：（Ⅰ）易知橢圓過(guò)點(diǎn)，所以， ① ………… 2分 又， ② ………… 3分 ， ③ ………… 4分 ①②③得，， 所以橢圓的方程為. ………… 6分 （Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)，它與的另一個(gè)交點(diǎn)為. 與聯(lián)立，消去，得， ………… 7分 . ， ………… 9分 又到的距離為， ………… 10分 所以. ………… 11分 令，則，所以當(dāng)時(shí)，最大值為3. ………… 14分 又 所以四邊形面積的最大值為3. ………… 15分 22.（本小題滿(mǎn)分15分） 解：（Ⅰ）； （Ⅱ）存在使得． 證法1：因?yàn)?，?dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以．因?yàn)?，所以由得且．下面用?shù)學(xué)歸納法證明． 因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)結(jié)論成立． 假設(shè)當(dāng)時(shí)結(jié)論成立，即．由于為上的減函數(shù)，所以，從而， 因此， 即． 綜上所述，對(duì)一切，都成立， 即存在使得． ……10分 證法2：，且 是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列. 所以. 易知，所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)， 即存在，使得. （Ⅲ）證明：由（2），我們有，從而. 設(shè)，則由得. 由于， 因此n=1，2，3時(shí)，成立，左邊不等式均成立． 當(dāng)n>3時(shí)，有， 因此． 從而．即． ……15分 解法2: 由（Ⅱ）可知，所以 ，所以 所以 所以當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí)， 即.(其他解法酌情給分)