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《第12章 全等三角形》 　 一、解答題 1．如圖，已知△ABC中，∠1=∠2，AE=AD，求證：DF=EF． 2．如圖，已知：正方形ABCD，由頂點A引兩條射線分別交BC、CD于E、F，且∠EAF=45，求證：BE+DF=EF． 3．如圖，在△ABC中，∠ABC=2∠C，AD平分∠BAC，求證：AB+BD=AC． 4．如圖，在四邊形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC， 求證：∠A+∠C=180． 5．如圖，AD平分∠BAC，EF垂直平分AD交BC的延長線于F，連接AF．求證：∠B=∠CAF． 6．已知，如圖，△ABC是等邊三角形，AE=CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于點P， 求證：BP=2PQ． 7．如圖，已知∠B+∠CDE=180，AC=CE．求證：AB=DE． 8．如圖，△ABC中，AB=AC，∠A=50，P為△ABC內(nèi)一點，∠PBC=∠PCA，求∠BPC的值． 9．等腰三角形一腰上的高與底邊所夾的角（　?。? A．等于頂角 B．等于頂角的一半 C．等于頂角的2倍 D．等于底角的一半 10．等腰三角形底邊上一點到兩腰的距離之和等于（　?。? A．腰上的高 B．腰上的中線 C．底角的平分線 D．頂角的平分線 11．如圖，已知△ABC的角平分線BD與∠ACB的外角平分線交于D點，DE∥BC交于E，交AC于F，求證：EF=BE﹣CF． 　  《第12章 全等三角形》 參考答案與試題解析 　 一、解答題 1．如圖，已知△ABC中，∠1=∠2，AE=AD，求證：DF=EF． 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】先利用“角角邊”證明△ABE和△ACD全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AB=AC，然后求出BD=CE，再利用“角角邊”證明△BDF和△CEF全等，然后根據(jù)全等三角形對應邊相等證明即可． 【解答】證明：在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（AAS）， ∴AB=AC， ∵AE=AD， ∴AB﹣AD=AC﹣AE， 即BD=CE， 在△BDF和△CEF中， ， ∴△BDF≌△CEF（AAS）， ∴DF=EF． 【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定方法并求出BD=CE是解題的關鍵． 　 2．如圖，已知：正方形ABCD，由頂點A引兩條射線分別交BC、CD于E、F，且∠EAF=45，求證：BE+DF=EF． 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】延長CD到G，使DG=BE，利用“邊角邊”證明△ABE和△ADG全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AG=AE，全等三角形對應角相等可得∠DAG=∠BAE，然后求出∠EAF=∠GAF，再利用“邊角邊”證明△AEF和△AGF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得EF=GF，然后結合圖形整理即可得證． 【解答】證明：如圖，延長CD到G，使DG=BE， 在正方形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90， ∴∠ADG=∠B， 在△ABE和△ADG中， ， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴AG=AE，∠DAG=∠BAE， ∵∠EAF=45， ∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=90﹣45=45， ∴∠EAF=∠GAF， 在△AEF和△AGF中， ， ∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴EF=GF， ∵GF=DG+DF=BE+DF， ∴BE+DF=EF． 【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟記三角形全等的判定方法和正方形的性質(zhì)并作輔助線構造成全等三角形是解題的關鍵，也是本題的難點． 　 3．如圖，在△ABC中，∠ABC=2∠C，AD平分∠BAC，求證：AB+BD=AC． 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】在AC上截取AE=AB，利用“邊角邊”證明△ABD和△AED全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得DE=BD，全等三角形對應角相等可得∠AED=∠ABC，然后求出∠C=∠CDE，根據(jù)等角對等邊可得CE=DE，然后結合圖形整理即可得證． 【解答】證明：如圖，在AC上截取AE=AB， ∵AD平分∠BAC， ∴∠CAD=∠BAD， 在△ABD和△AED中， ， ∴△ABD≌△AED（SAS）， ∴DE=BD，∠AED=∠ABC， ∵∠AED=∠C+∠CDE，∠ABC=2∠C， ∴∠CDE=∠C， ∴CE=DE， ∵AE+CE=AC， ∴AB+BD=AC． 【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，等角對等邊的性質(zhì)，作輔助線構造出全等三角形和等腰三角形是解題的關鍵． 　 4．如圖，在四邊形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC， 求證：∠A+∠C=180． 【考點】角平分線的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】首先過點D作DE⊥BC于E，過點D作DF⊥AB交BA的延長線于F，由BD平分∠ABC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，即可得DE=DF，又由AD=CD，即可判定Rt△CDE≌Rt△ADF，則可證得：∠A+∠C=180． 【解答】證明：過點D作DE⊥BC于E，過點D作DF⊥AB交BA的延長線于F， ∵BD平分∠ABC， ∴DE=DF，∠DEC=∠F=90， 在RtCDE和Rt△ADF中， ， ∴Rt△CDE≌Rt△ADF（HL）， ∴∠FAD=∠C， ∴∠BAD+∠C=∠BAD+∠FAD=180． 【點評】此題考查了角平分線的性質(zhì)與全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，解題的關鍵是準確作出輔助線，掌握數(shù)形結合思想的應用． 　 5．如圖，AD平分∠BAC，EF垂直平分AD交BC的延長線于F，連接AF．求證：∠B=∠CAF． 【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】EF垂直平分AD，則可得AF=DF，進而再轉化為角之間的關系，通過角之間的平衡轉化，最終得出結論． 【解答】證明：∵EF垂直平分AD，∴AF=DF，∠ADF=∠DAF， ∵∠ADF=∠B+∠BAD， ∠DAF=∠CAF+∠CAD， 又∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD， ∴∠B=∠CAF． 【點評】熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)． 　 6．已知，如圖，△ABC是等邊三角形，AE=CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于點P， 求證：BP=2PQ． 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；含30度角的直角三角形． 【專題】證明題． 【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB=AC，∠BAE=∠C=60，再利用“邊角邊”證明△ABE和△CAD全等，根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠1=∠2，然后求出∠BPQ=60，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠PBQ=30，然后根據(jù)直角三角形30角所對的直角邊等于斜邊的一半證明即可． 【解答】證明：∵△ABC是等邊三角形， ∴AB=AC，∠BAE=∠C=60， 在△ABE和△CAD中，， ∴△ABE≌△CAD（SAS）， ∴∠1=∠2， ∴∠BPQ=∠2+∠3=∠1+∠3=∠BAC=60， ∵BQ⊥AD， ∴∠PBQ=90﹣∠BPQ=90﹣60=30， ∴BP=2PQ． 【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形30角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并準確識圖求出△BPQ是含30角的直角三角形是解題的關鍵． 　 7．如圖，已知∠B+∠CDE=180，AC=CE．求證：AB=DE． 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】如圖，過E點作EH∥AB交BD的延長線于H．構建全等三角形△ABC≌△EHC（ASA），則由全等三角形的性質(zhì)得到AB=HE；然后結合已知條件得到DE=HE，所以AB=HE，由等量代換證得AB=DE． 【解答】證明：如圖，過E點作EH∥AB交BD的延長線于H，故∠A=∠CEH， 在△ABC與△EHC中， ∴△ABC≌△EHC（ASA）， ∴AB=HE， ∵∠B+∠CDE=180， ∠HDE+∠CDE=180 ∴∠HDE=∠B=∠H， ∴DE=HE． ∵AB=HE， ∴AB=DE． 【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．在應用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構造三角形． 　 8．如圖，△ABC中，AB=AC，∠A=50，P為△ABC內(nèi)一點，∠PBC=∠PCA，求∠BPC的值． 【考點】等腰三角形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)等腰三角形的兩個底角相等，即可求得∠ACB=∠ABC，則∠PBC+∠PCB即可求得，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求解． 【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=50， ∴∠ACB=∠ABC=65． 又∵∠PBC=∠PCA， ∴∠PBC+∠PCB=65， ∴∠BPC=115． 【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形的兩個內(nèi)角相等，以及三角形的內(nèi)角和定理． 　 9．等腰三角形一腰上的高與底邊所夾的角（　?。? A．等于頂角 B．等于頂角的一半 C．等于頂角的2倍 D．等于底角的一半 【考點】等腰三角形的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理． 【分析】要求高與底邊所夾的角與其它角的關系，首先要畫出圖形，根據(jù)已知結合等腰三角形及直角三角形的性質(zhì)進行分析推理，答案可得． 【解答】已知：在△ABC中，AB=AC，CD⊥AB與點D 求證：∠OCE=∠CAB 證明：作BC邊上的高AE，與CD相交于點O ∵∠AOD=∠COE，AE⊥BC ∴∠DAO=∠ECO 根據(jù)等腰三角形的三線合一定理，AE為△ABC的頂角平分線． ∴∠BAE=∠CAE=∠OCE ∴∠OCE=∠CAB ∴等腰三角形一腰上的高與底邊所夾的角等于頂角的一半． 故選B． 【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)；做題時，要明確等腰三角形內(nèi)角的轉化，作出輔助線是解答本題的關鍵． 　 10．等腰三角形底邊上一點到兩腰的距離之和等于（　　） A．腰上的高 B．腰上的中線 C．底角的平分線 D．頂角的平分線 【考點】等腰三角形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)三角形的面積公式S△=底高求得S△ABD、S△ACD、S△ABC；又由圖易知，S△ABC=S△ABD+S△ACD，分析到這里，問題就迎刃而解了． 【解答】如圖：△ABC中，AB=AC，D為BC上任意一點，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足為E、F， CG⊥AB于G， ∵ED⊥AB， ∴S△ABD=AB?ED； ∵DF⊥AC， ∴S△ACD=； ∵CG⊥AB， ∴S△ABC=； 又∵AB=AC，S△ABC=S△ABD+S△ACD， ∴AB?CG=AB?ED+AC?DF， ∴CG=DE+DF． ∴等腰三角形底邊上的任意一點到兩腰的距離之和等于一腰上的高， 故選A． 【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形的面積公式等知識點；輔助線的作出是解答本題的關鍵． 　 11．如圖，已知△ABC的角平分線BD與∠ACB的外角平分線交于D點，DE∥BC交于E，交AC于F，求證：EF=BE﹣CF． 【考點】等腰三角形的判定與性質(zhì)；平行線的性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】根據(jù)角平分線得出∠ABD=∠CBD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠EDB=∠CBD，推出∠ABD=∠EDB，推出DE=BE，同理推出DF=CF，即可得出答案． 【解答】證明：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD， ∵DE∥BC， ∴∠EDB=∠CBD， ∴∠ABD=∠EDB， ∴DE=BE， 同理DF=CF， ∵EF=DE﹣DF， ∴EF=BE﹣CF． 【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線定義，等腰三角形的判定的應用，關鍵是推出DE=BE和CF=DF．