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《第12章 全等三角形》 　 一、選擇題 1．如圖所示，亮亮書上的三角形被墨跡污染了一部分，很快他就根據(jù)所學知識畫出一個與書上完全一樣的三角形，那么這兩個三角形完全一樣的依據(jù)是（　?。? A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA 2．將一張長方形紙片按如圖所示的方式折疊，BC，BD為折痕，則∠CBD的度數(shù)為（　?。? A．60 B．75 C．90 D．95 3．如圖，在CD上求一點P，使它到OA，OB的距離相等，則P點是（　?。? A．線段CD的中點 B．OA與OB的中垂線的交點 C．OA與CD的中垂線的交點 D．CD與∠AOB的平分線的交點 4．如圖所示，△ABD≌△CDB，下面四個結論中，不正確的是（　?。? A．△ABD和△CDB的面積相等 B．△ABD和△CDB的周長相等 C．∠A+∠ABD=∠C+∠CBD D．AD∥BC，且AD=BC 5．如圖，已知AB=DC，AD=BC，E、F在DB上兩點且BF=DE，若∠AEB=120，∠ADB=30，則∠BCF=（　　） A．150 B．40 C．80 D．90 　 二、填空題 6．如圖，∠BAC=∠ABD，請你添加一個條件：　　，使OC=OD（只添一個即可）． 7．如圖，在△ABC中，AB=AC，BE、CF是中線，則由　　可得△AFC≌△AEB． 8．如圖，AB∥CD，AD∥BC，OE=OF，圖中全等三角形共有　　對． 9．在數(shù)學活動課上，小明提出這樣一個問題：∠B=∠C=90，E是BC的中點，DE平分∠ADC，∠CED=35，如圖，則∠EAB是多少度？大家一起熱烈地討論交流，小英第一個得出正確答案，是　　度． 10．如圖，AD、A′D′分別是銳角△ABC和△A′B′C′中BC與B′C′邊上的高，且AB=A′B′，AD=A′D′，若使△ABC≌△A′B′C′，請你補充條件　?。ㄖ恍杼顚懸粋€你認為適當?shù)臈l件） 　 三、解答題 11．已知：△DEF≌△MNP，且EF=NP，∠F=∠P，∠D=48，∠E=52，MN=12cm，則∠P=　　度，DE=　　cm． 12．如圖，∠DCE=90，CD=CE，AD⊥AC，BE⊥AC，垂足分別為A、B．試說明AD+AB=BE． 13．如圖，工人師傅要檢查人字梁的∠B和∠C是否相等，但他手邊沒有量角器，只有一個刻度尺．他是這樣操作的： ①分別在BA和CA上取BE=CG； ②在BC上取BD=CF； ③量出DE的長a米，F(xiàn)G的長b米． 如果a=b，則說明∠B和∠C是相等的，他的這種做法合理嗎？為什么？ 14．（1）如圖1，以△ABC的邊AB、AC為邊分別向外作正方形ABDE和正方形ACFG，連接EG，試判斷△ABC與△AEG面積之間的關系，并說明理由． （2）園林小路，曲徑通幽，如圖2所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石鋪成．已知中間的所有正方形的面積之和是a平方米，內(nèi)圈的所有三角形的面積之和是b平方米，這條小路一共占地多少平方米． 　 《第12章 全等三角形》 參考答案與試題解析 　 一、選擇題 1．如圖所示，亮亮書上的三角形被墨跡污染了一部分，很快他就根據(jù)所學知識畫出一個與書上完全一樣的三角形，那么這兩個三角形完全一樣的依據(jù)是（　?。? A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA 【考點】全等三角形的應用． 【分析】根據(jù)圖象，三角形有兩角和它們的夾邊是完整的，所以可以根據(jù)“角邊角”畫出． 【解答】解：根據(jù)題意，三角形的兩角和它們的夾邊是完整的，所以可以利用“角邊角”定理作出完全一樣的三角形． 故選D． 【點評】本題考查了三角形全等的判定的實際運用，熟練掌握判定定理并靈活運用是解題的關鍵． 　 2．將一張長方形紙片按如圖所示的方式折疊，BC，BD為折痕，則∠CBD的度數(shù)為（　?。? A．60 B．75 C．90 D．95 【考點】翻折變換（折疊問題）． 【分析】根據(jù)圖形，利用折疊的性質(zhì)，折疊前后形成的圖形全等． 【解答】解：∠ABC+∠DBE+∠DBC=180，且∠ABC+∠DBE=∠DBC；故∠CBD=90． 故選C． 【點評】本題通過折疊變換考查學生的邏輯思維能力，解決此類問題，應結合題意，最好實際操作圖形的折疊，易于找到圖形間的關系． 　 3．如圖，在CD上求一點P，使它到OA，OB的距離相等，則P點是（　?。? A．線段CD的中點 B．OA與OB的中垂線的交點 C．OA與CD的中垂線的交點 D．CD與∠AOB的平分線的交點 【考點】角平分線的性質(zhì)． 【分析】利用角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等可知CD與∠AOB的平分線的交點． 【解答】解：利用角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等可知CD與∠AOB的平分線的交P． 故選D． 【點評】本題主要考查了角平分線上的一點到兩邊的距離相等的性質(zhì)．做題時注意題目要求要滿足兩個條件①到角兩邊距離相等，②點在CD上，要同時滿足． 　 4．如圖所示，△ABD≌△CDB，下面四個結論中，不正確的是（　?。? A．△ABD和△CDB的面積相等 B．△ABD和△CDB的周長相等 C．∠A+∠ABD=∠C+∠CBD D．AD∥BC，且AD=BC 【考點】全等三角形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出對應角相等，對應邊相等，推出兩三角形面積相等，周長相等，再逐個判斷即可． 【解答】解：A、∵△ABD≌△CDB， ∴△ABD和△CDB的面積相等，故本選項錯誤； B、∵△ABD≌△CDB， ∴△ABD和△CDB的周長相等，故本選項錯誤； C、∵△ABD≌△CDB， ∴∠A=∠C，∠ABD=∠CDB， ∴∠A+∠ABD=∠C+∠CDB≠∠C+∠CBD，故本選項正確； D、∵△ABD≌△CDB， ∴AD=BC，∠ADB=∠CBD， ∴AD∥BC，故本選項錯誤； 故選C． 【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應用，注意：全等三角形的對應邊相等，對應角相等． 　 5．如圖，已知AB=DC，AD=BC，E、F在DB上兩點且BF=DE，若∠AEB=120，∠ADB=30，則∠BCF=（　?。? A．150 B．40 C．80 D．90 【考點】平行四邊形的性質(zhì)． 【分析】由AB=DC，AD=BC可知四邊形ABCD為平行四邊形，根據(jù)BF=DE，可證△ADE≌△CBF，則∠BCF=∠DAE，因為∠AEB=120、∠ADB=30，所以可推得∠BCF=90． 【解答】解：∵AB=DC，AD=BC， ∴四邊形ABCD為平行四邊形， ∴∠ADE=∠CBF， ∵BF=DE， ∴△ADE≌△CBF， ∴∠BCF=∠DAE， ∵∠DAE=180﹣∠ADB﹣∠AED， ∵∠AED=180﹣∠AEB=60，∠ADB=30， ∴∠BCF=90． 故選D． 【點評】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，運用平行四邊形的性質(zhì)解決以下問題，如求角的度數(shù)、線段的長度，證明角相等或互補，證明線段相等或倍分等． 　 二、填空題 6．如圖，∠BAC=∠ABD，請你添加一個條件：　∠C=∠D或AC=BD　，使OC=OD（只添一個即可）． 【考點】全等三角形的判定． 【專題】開放型． 【分析】本題可通過全等三角形來證簡單的線段相等．△AOD和△BOC中，由于∠BAC=∠ABD，可得出OA=OB，又已知了∠AOD=∠BOC，因此只需添加一組對應角相等即可得出兩三角形全等，進而的得出OC=OD．也可直接添加AC=BD，然后聯(lián)立OA=OB，即可得出OC=OD． 【解答】解：∵∠BAC=∠ABD， ∴OA=OB，又有∠AOD=∠BOC； ∴當∠C=∠D時，△AOD≌△BOC； ∴OC=OD． 故填∠C=∠D或AC=BD． 【點評】本題考查了全等三角形的判定；題目是開放型題目，根據(jù)已知條件結合判定方法，找出所需條件，一般答案不唯一，只要符合要求即可． 　 7．如圖，在△ABC中，AB=AC，BE、CF是中線，則由　SAS　可得△AFC≌△AEB． 【考點】全等三角形的判定． 【分析】由已知AB=AC，BE、CF是中線，可得AF=AE，這樣△AFC與△AEB中，有兩邊及它們的夾角對應相等，符合SAS，于是可得答案． 【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，BE、CF是中線 ∴AF=BF=AE=EC ∵∴△AFC≌△AEB（SAS）． 因為該判定是兩邊角且該角為兩邊的夾角，所以用的是SAS． 故填SAS． 【點評】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．根據(jù)已知條件在三角形中的位置來選擇方法是正確解答本題的關鍵． 　 8．如圖，AB∥CD，AD∥BC，OE=OF，圖中全等三角形共有　6　對． 【考點】全等三角形的判定． 【分析】在如上圖形中可知相交的兩直線和四邊形的邊長所組成的三角形全等，然后得到結論，再找其它的三角形由易到難． 【解答】解：∵AD∥BC，OE=OF， ∴∠FAC=∠BCA， 又∠AOF=∠COE， ∴△AFO≌△CEO， ∴AO=CO， 進一步可得△AOD≌△COB，△FOD≌△EOB，△ACB≌△ACD，△ABD≌△DCB，△AOB≌△COD 共有6對． 故填6 【點評】考查全等三角形的判定，做題時要從已知開始思考結合全等的判定方法由易到難找尋，注意順序別遺漏． 　 9．在數(shù)學活動課上，小明提出這樣一個問題：∠B=∠C=90，E是BC的中點，DE平分∠ADC，∠CED=35，如圖，則∠EAB是多少度？大家一起熱烈地討論交流，小英第一個得出正確答案，是　35　度． 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】過點E作EF⊥AD，證明△ABE≌△AFE，再求得∠CDE=90﹣35=55，即可求得∠EAB的度數(shù)． 【解答】解：過點E作EF⊥AD， ∵DE平分∠ADC，且E是BC的中點， ∴CE=EB=EF，又∠B=90，且AE=AE， ∴△ABE≌△AFE， ∴∠EAB=∠EAF． 又∵∠CED=35，∠C=90， ∴∠CDE=90﹣35=55， 即∠CDA=110，∠DAB=70， ∴∠EAB=35． 【點評】三角形全等的判定是中考的熱點，一般以考查三角形全等的方法為主，判定兩個三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件． 　 10．如圖，AD、A′D′分別是銳角△ABC和△A′B′C′中BC與B′C′邊上的高，且AB=A′B′，AD=A′D′，若使△ABC≌△A′B′C′，請你補充條件　CD=C′D′（或AC=A′C′，或∠C=∠C′或∠CAD=∠C′A′D′）?。ㄖ恍杼顚懸粋€你認為適當?shù)臈l件） 【考點】全等三角形的判定． 【專題】開放型． 【分析】根據(jù)判定方法，結合圖形和已知條件，尋找添加條件． 【解答】解：我們可以先利用HL判定△ABD≌△A′B′D′得出對應邊相等，對應角相等． 此時若添加CD=CD，可以利用SAS來判定其全等； 添加∠C=∠C，可以利用AAS判定其全等； 還可添加AC=A′C′，∠CAD=∠C′A′D′等． 【點評】本題考查三角形全等的判定方法；判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加時注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，不能添加，根據(jù)已知結合圖形及判定方法選擇條件是正確解答本題的關鍵． 　 三、解答題 11．已知：△DEF≌△MNP，且EF=NP，∠F=∠P，∠D=48，∠E=52，MN=12cm，則∠P=　80　度，DE=　12　cm． 【考點】全等三角形的性質(zhì)． 【分析】先運用三角形內(nèi)角和求出∠F，再運用“全等三角形的對應邊相等，對應角相等”即易求，做題時要找準對應關系． 【解答】解：△DEF中，∠D=48，∠E=52， ∴∠F=180﹣48﹣52=80， ∵△DEF≌△MNP，MN=12cm， ∴DE=MN=12cm，∠F=P=80． 故分別填80，12． 【點評】本題考查了三角形全等的性質(zhì)；用到的知識點為：全等三角形的對應邊相等，對應角相等．應注意各對應頂點應在同一位置．在計算角的度數(shù)的時候各角的度數(shù)應整理到一個三角形中． 　 12．（2015秋?東臺市期中）如圖，∠DCE=90，CD=CE，AD⊥AC，BE⊥AC，垂足分別為A、B．試說明AD+AB=BE． 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】若△ADC≌△BCE，則AD=BC，BE=AC=AB+BC+AD+AB，所以求解Rt△ACD≌Rt△BEC即可得出結論． 【解答】解：∵∠DCE=90（已知）， ∴∠ECB+∠ACD=90， ∵EB⊥AC， ∴∠E+∠ECB=90（直角三角形兩銳角互余）． ∴∠ACD=∠E（同角的余角相等）． ∵AD⊥AC，BE⊥AC（已知）， ∴∠A=∠EBC=90（垂直的定義） 在Rt△ACD和Rt△BEC中，， ∴Rt△ACD≌Rt△BEC（AAS）． ∴AD=BC，AC=BE（全等三角形的對應邊相等）， ∴AD+AB=BC+AB=AC． ∴AD+AB=BE． 【點評】本題考查了三角形全等的判定及性質(zhì)；熟練掌握全等三角形的性質(zhì)及判定，同一題中出現(xiàn)多個90角的時候，往往通過互余求得角度相等，為三角形全等提供有用的條件，要掌握這種方法． 　 13．（2014?黃岡模擬）如圖，工人師傅要檢查人字梁的∠B和∠C是否相等，但他手邊沒有量角器，只有一個刻度尺．他是這樣操作的： ①分別在BA和CA上取BE=CG； ②在BC上取BD=CF； ③量出DE的長a米，F(xiàn)G的長b米． 如果a=b，則說明∠B和∠C是相等的，他的這種做法合理嗎？為什么？ 【考點】全等三角形的應用． 【專題】證明題． 【分析】給出的三組相等線段都分布在△BDE，△CFG中，判斷他們?nèi)龋瑮l件充分，利用全等的性質(zhì)容易得出∠B=∠C． 【解答】解：這種做法合理． 理由： 在△BDE和△CFG中， ． ∴△BDE≌△CFG（SSS）， ∴∠B=∠C． 【點評】本題考查了全等三角形的應用；判斷兩個角相等，或者邊相等，可以把他們分別放到兩個可能全等的三角形中，圍繞全等找判斷全等的條件． 　 14．（2005?煙臺）（1）如圖1，以△ABC的邊AB、AC為邊分別向外作正方形ABDE和正方形ACFG，連接EG，試判斷△ABC與△AEG面積之間的關系，并說明理由． （2）園林小路，曲徑通幽，如圖2所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石鋪成．已知中間的所有正方形的面積之和是a平方米，內(nèi)圈的所有三角形的面積之和是b平方米，這條小路一共占地多少平方米． 【考點】全等三角形的應用． 【專題】應用題． 【分析】（1）過點C作CM⊥AB于M，過點G作GN⊥EA交EA延長線于N，得出△ABC與△AEG的兩條高，由正方形的特殊性證明△ACM≌△AGN，是判斷△ABC與△AEG面積之間的關系的關鍵； （2）同（1）道理知外圈的所有三角形的面積之和等于內(nèi)圈的所有三角形的面積之和，求出這條小路一共占地多少平方米． 【解答】解：（1）△ABC與△AEG面積相等． 理由：過點C作CM⊥AB于M，過點G作GN⊥EA交EA延長線于N，則∠AMC=∠ANG=90， ∵四邊形ABDE和四邊形ACFG都是正方形， ∴∠BAE=∠CAG=90，AB=AE，AC=AG， ∵∠BAE+∠CAG+∠BAC+∠EAG=360， ∴∠BAC+∠EAG=180， ∵∠EAG+∠GAN=180， ∴∠BAC=∠GAN， 在△ACM和△AGN中， ， ∴△ACM≌△AGN， ∴CM=GN， ∵S△ABC=AB?CM，S△AEG=AE?GN， ∴S△ABC=S△AEG， （2）由（1）知外圈的所有三角形的面積之和等于內(nèi)圈的所有三角形的面積之和． ∴這條小路的面積為（a+2b）平方米． 【點評】本題要利用正方形的特殊性，巧妙地借助兩個三角形全等，尋找三角形面積之間的等量關系，解決問題．由正方形的特殊性證明△ACM≌△AGN，是判斷△ABC與△AEG面積之間的關系的關鍵．