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立體幾何專題復習（一） E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D 1．如圖，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD為等腰梯形，AB//CD，AB=4，BC=CD=2， AA=2, E、E、F分別是棱AD、AA、AB的中點． （1） 證明：直線EE//平面FCC； （2） 求二面角B-FC-C的余弦值． 解析：解法一：（1）在直四棱柱ABCD-ABCD中，取A1B1的中點F1， E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D F1 O P 連接A1D，C1F1，CF1，因為AB=4， CD=2，且AB//CD， 所以CDA1F1，A1F1CD為平行四邊形，所以CF1//A1D， 又因為E、E分別是棱AD、AA的中點，所以EE1//A1D， 所以CF1//EE1，又因為平面FCC，平面FCC， 所以直線EE//平面FCC． （2）因為AB=4， BC=CD=2， F是棱AB的中點，所以BF=BC=CF，△BCF為正三角形， 取CF的中點O，則OB⊥CF，又因為直四棱柱ABCD-ABCD中，CC1⊥平面ABCD， 所以CC1⊥BO，所以OB⊥平面CC1F， 過O在平面CC1F內作OP⊥C1F，垂足為P，連接BP，則∠OPB為二面角B-FC-C的一個平面角， 在△BCF為正三角形中，， 在Rt△CC1F中， △OPF∽△CC1F，∵ ∴， w．w．w．k．s．5．u．c．o．m 在Rt△OPF中，，， 所以二面角B-FC-C的余弦值為． 2.如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，,E，F分別是BC, PC的中點. （1）證明：AE⊥PD; （2）若H為PD上的動點，EH與平面PAD所成最大角的正切值為，求二面角E—AF—C的余弦值. 8、如圖，四棱錐中，平面，四邊形是矩形，、分別是、的中點．若，． （Ⅰ）求證：平面； （Ⅱ） 求點到平面的距離； （Ⅲ）求直線平面所成角的正弦值． 8、解法一： （I）取PC的中點G，連結EG，FG，又由F為PD中點， 則 F G . …2分 = = 又由已知有 ∴四邊形AEGF是平行四邊形. …4分 平面PCE，EG…………5分 （II） …………3分 . …………5分 （III）由（II）知 直線FC與平面PCE所成角的正弦值為. …………4分 解法二：如圖建立空間直角坐標系 （II）設平面PCE的法向量為 …………5分 （III） ………2分 直線FC與平面PCE所成角的正弦值為. …………4分 教師寄語：苦盡甘來，十年寒窗苦讀效三皇五帝逐群雄； 師生同喜，一朝金榜題名成八斗奇才傲天下。 1、如圖，在三棱錐中，底面ABC,， AP=AC, 點，分別在棱上，且BC//平面ADE （Ⅰ）求證：DE⊥平面； （Ⅱ）當二面角為直二面角時，求多面體ABCED與PAED的體積比。 17解：（Ⅰ）BC//平面ADE, BC平面PBC, 平面PBC平面ADE=DE ks5u BC//ED …………2分ks5u ∵PA⊥底面ABC，BC底面ABC ∴PA⊥BC. ………3分 又，∴AC⊥BC. ∵PAAC=A, ∴BC⊥平面PAC. …………5分 ∴DE⊥平面. …………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知， DE⊥平面PAC， 又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE， ∴∠AEP為二面角的平面角， …………8分 ∴，即AE⊥PC， …………9分 ∵AP=AC, ∴E是PC的中點，ED是PBC的中位線。………10分 ………12分