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一、選擇題 1．數(shù)列1，(1＋2)，(1＋2＋22)，…，(1＋2＋22＋…＋2n－1)，…的前n項之和為(　　) A．2n－1　　　　　　　　　B．n2n－n C．2n＋1－n D．2n＋1－n－2 答案　D 解析　記an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1 ∴Sn＝－n＝2n＋1－2－n 2．數(shù)列{an}、{bn}滿足anbn＝1，an＝n2＋3n＋2，則{bn}的前10項之和為(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　bn＝＝＝－ S10＝b1＋b2＋b3＋…＋b10 ＝－＋－＋－＋…＋－＝－＝ 3．已知等差數(shù)列公差為d，且an≠0，d≠0，則＋＋…＋可化簡為(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　∵＝(－) ∴原式＝(－＋－＋…＋－) ＝(－)＝，選B 4．設直線nx＋(n＋1)y＝(n∈N*)與兩坐標軸圍成的三角形面積為Sn，則S1＋S2＋…＋S2008的值為(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　直線與x軸交于(，0)，與y軸交于(0，)， ∴Sn＝＝＝－， ∴原式＝(1－)＋(－)＋…＋(－) ＝1－＝ 二、填空題 5．(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝____________. 答案　5050 解析　原式 ＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1＝＝5050 6．Sn＝＋＋…＋＝________. 答案　 解析　通項an＝＝＝(－) ∴Sn＝(1－＋－＋…＋－) ＝(1－)＝ 7．(2010《高考調研》原創(chuàng)題)某醫(yī)院近30天每天因患甲型H1N1流感而入院就診的人數(shù)依次構成數(shù)列{an}，已知a1＝1，a2＝2，且滿足an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N*)，則該醫(yī)院30天內因患甲型H1N1流感而入院就診的人數(shù)共有________． 答案　255 解析　當n為偶數(shù)時，由題易得an＋2－an＝2，此時為等差數(shù)列；當n為奇數(shù)時，an＋2－an＝0，此時為常數(shù)列，所以該醫(yī)院30天內因患甲型H1N1流感而入院就診的人數(shù)總和為S30＝15＋152＋2＝255. 三、解答題 8．(2010重慶卷，文)已知{an}是首項為19，公差為－2的等差數(shù)列，Sn為{an}的前n項和． (1)求通項an及Sn； (2)設{bn－an}是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，求數(shù)列{bn}的通項公式及其前n項和Tn. 解析　(1)因為{an}是首項為a1＝19，公差為d＝－2的等差數(shù)列，所以an＝19－2(n－1)＝－2n＋21. Sn＝19n＋(－2)＝－n2＋20n. (2)由題意知bn－an＝3n－1，所以bn＝3n－1＋an＝3n－1－2n＋21.Tn＝Sn＋(1＋3＋…＋3n－1)＝－n2＋20n＋. 9．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋2＝anq2，(q≠0) 求和：＋＋…＋. 解　由題意得＝q2－2n，＝q2－2n，于是 ＋＋…＋＝(＋＋…＋)＋(＋＋…＋)＝(1＋＋＋…＋)＋(1＋＋＋…＋)＝(1＋＋＋…＋)． 當q＝1時，＋＋…＋＝(1＋＋＋…＋)＝n， 當q≠1時，＋＋…＋＝(1＋＋＋…＋)＝()＝[]． 故＋＋…＋＝. 10．數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝10n－n2，求數(shù)列{|an|}的前n項和． 解析　易求得an＝－2n＋11(n∈N*)． 令an≥0，得n≤5；令an＜0，得n≥6. 記Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，則： (1)當n≤5時， Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an| ＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝10n－n2. (2)當n≥6時， Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an| ＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5－a6－a7－…－an ＝2(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)－(a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋…＋an) ＝2S5－Sn ＝n2－10n＋50. 綜上，得Tn＝ 11．已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列． Tn＝na1＋(n－1)a2＋…＋an，且T1＝1，T2＝4 (1)求{an}的通項公式． (2)求{Tn}的通項公式． 解析　(1)T1＝a1＝1 T2＝2a1＋a2＝2＋a2＝4，∴a2＝2 ∴等比數(shù)列{an}的公比q＝＝2 ∴an＝2n－1 (2)解法一： Tn＝n＋(n－1)2＋(n－2)22＋…＋12n－1① 2Tn＝n2＋(n－1)22＋(n－2)23＋…＋12n② ②－①得 Tn＝－n＋2＋22＋…＋2n－1＋2n＝－n＋ ＝－n＋2n＋1－2＝2n＋1－n－2 解法二： 設Sn＝a1＋a2＋…＋an ∴Sn＝1＋2＋…＋2n－1＝2n－1 ∴Tn＝na1＋(n－1)a2＋…＋2an－1＋an ＝a1＋(a1＋a2)＋…＋(a1＋a2＋…＋an) ＝S1＋S2＋…＋Sn＝(2－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1) ＝(2＋22＋…＋2n)－n＝－n ＝2n＋1－n－2 12．設數(shù)列{an}是公差大于0的等差數(shù)列，a3，a5分別是方程x2－14x＋45＝0的兩個實根． (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)設bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn. 解　(1)因為方程x2－14x＋45＝0的兩個根分別為5、9，所以由題意可知a3＝5，a5＝9，所以d＝2，所以an＝a3＋(n－3)d＝2n－1. (2)由(1)可知，bn＝＝n， ∴Tn＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n　①， ∴Tn＝1＋2＋…＋(n－1)＋n　②， ①－②得，Tn＝＋＋＋…＋＋－n＝1－，所以Tn＝2－. 13．已知數(shù)列{an}的首項a1＝，an＋1＝，n＝1,2，…. (1)證明：數(shù)列{－1}是等比數(shù)列； (2)求數(shù)列{}的前n項和Sn. 解　(1)∵an＋1＝，∴＝＝＋，∴－1＝(－1)，又a1＝，∴－1＝.∴數(shù)列{－1}是以為首項，為公比的等比數(shù)列． (2)由(1)知－1＝＝，即＝＋1，∴＝＋n. 設Tn＝＋＋＋…＋.① 則Tn＝＋＋…＋＋.② ①－②得 Tn＝＋＋…＋－＝－＝1－－， ∴Tn＝2－－，又1＋2＋3＋…＋n＝， ∴數(shù)列{}的前n項和Sn＝2－＋＝－. 1．已知數(shù)列{}的前n項和Sn＝9，求n的值． 解析　記an＝＝－，則：a1＝－，a2＝－，a3＝－，…，an＝－. ∴Sn＝a1＋a2＋…＋an ＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝－1. 令－1＝9，解得n＝99. 2．設數(shù)列{an}滿足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，n∈N*. (1)求數(shù)列{an}的通項； (2)設bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn. 解析　(1)∵a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，① ∴當n≥2時，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝，② ①－②得3n－1an＝，an＝. 在①中，令n＝1，得a1＝.∴an＝. (2)∵bn＝，∴bn＝n3n， ∴Sn＝3＋232＋333＋…＋n3n，③ ∴3Sn＝32＋233＋334＋…＋n3n＋1.④ ④－③得2Sn＝n3n＋1－(3＋32＋33＋…＋3n)． 即2Sn＝n3n＋1－.∴Sn＝＋. 3．(09廣東A文)已知點(1，)是函數(shù)f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的圖像上的一點．等比數(shù)列{an}的前n項和為f(n)－c.數(shù)列{bn}(bn>0)的首項為c，且前n項和Sn滿足Sn－Sn－1＝＋(n≥2)． (1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式； (2)若數(shù)列{}的前n項和為Tn，問滿足Tn>的最小正整數(shù)n是多少？ 解析　(1)∵點(1，)是函數(shù)f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的圖象上的一點．∴f(1)＝a＝.∴f(x)＝()x 已知等比數(shù)列{an}的前n項和為f(n)－c， 則當n≥2時，an＝[f(n)－c]－[f(n－1)－c]＝an(1－a－1)＝－. ∵{an}是等比數(shù)列，∴{an}的公比q＝， ∴a2＝－＝a1q＝(f(1)－c)，解得c＝1，a1＝－.故an＝－(n≥1) 由題設知{bn}(bn>0)的首項b1＝c＝1， 其前n項和Sn滿足Sn－Sn－1＝＋(n≥2)， 由Sn－Sn－1＝＋?－＝1，且＝＝1. ∴{}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，即＝n?Sn＝n2. ∵bn＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)，又b1＝1， 故數(shù)列{bn}的通項公式為：bn＝2n－1(n≥1)． (2)∵bn＝2n－1(n≥1) ∴＝(－)． ∴Tn＝ ＝[(－)＋(－)＋…＋(－)]＝. 要Tn>?>?n>＝111. 故滿足條件的最小正整數(shù)n是112. 4．(2010湖南卷，文)給出下面的數(shù)表序列： 表1 表2 表3 … 1 1　3 1　3　5 4 4　8 12 其中表n(n＝1,2,3，…)有n行，第1行的n個數(shù)是1,3,5，…，2n－1，從第2行起，每行中的每個數(shù)都等于它肩上的兩數(shù)之和． 每個數(shù)表中最后一行都只有一個數(shù)，它們構成數(shù)列1,4,12，…，記此數(shù)列為{bn}，求和：＋＋…＋(n∈N*)． 解析　表n的第1行是1,3,5，…，2n－1，其平均數(shù)是 ＝n.以此類推，可知， 它的各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構成首項為n，公比為2的等比數(shù)列(從而它的第k行中的數(shù)的平均數(shù)是n2k－1)，于是，表n中最后一行的唯一的數(shù)為bn＝n2n－1. 因此＝＝＝＝－.(k＝1,2,3，…，n) 故＋＋…＋＝(－)＋(－)＋…＋[－]＝－＝4－.