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單元檢測卷四　圖形初步與三角形 (時間:120分鐘　滿分:150分) 一、選擇題(本大題共10小題,每小題4分,共40分) 1.已知線段AB=16 cm,O是線段AB上一點,M是AO的中點,N是BO的中點,則MN=(　　) 　　　　　　　　　　　　　　 A.10 cm B.6 cm C.8 cm D.9 cm 解析:∵M是AO的中點,N是BO的中點, ∴MN=MO+ON=AO+OB=AB=8 cm. 答案:C 2.已知∠1=130,∠2=118,則∠1與∠2的數(shù)量關系為(　　) A.∠1=∠2 B.∠1-∠2=12 C.∠1-∠2=22 D.∠2-∠1=12 解析:∠1-∠2=130-118=12. 答案:B 3.如圖,直線l1,l2,l3交于一點,直線l4∥l1,若∠1=124,∠2=88,則∠3的度數(shù)為(　　) A.26 B.36 C.46 D.56 解析:∵∠1=∠2+∠4,∠1=124,∠2=88, ∴∠4=36. ∵l1∥l2,∴∠3=∠4=36.故選B. 答案:B 4.現(xiàn)有3 cm,4 cm,7 cm,9 cm長的四根木棒,任取其中三根組成一個三角形,那么可以組成的三角形的個數(shù)有(　　) A.1個 B.2個 C.3個 D.4個 解析:四條木棒的所有組合:3,4,7;3,4,9;3,7,9;4,7,9,只有3,7,9和4,7,9能組成三角形.故選B. 答案:B 5.等腰三角形的底邊長為6,底邊上的中線長為4,它的腰長為(　　) A.5 B.6 C.7 D.8 答案:A 6.如圖,在四邊形ABCD中,∠BAD=∠ADC=90,AB=AD=2,CD=,點P在四邊形ABCD的邊上.若點P到BD的距離為,則點P的個數(shù)為(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:過點A作AE⊥BD于點E,過點C作CF⊥BD于點F, ∵∠BAD=∠ADC=90,AB=AD=2,CD=, ∴∠ABD=∠ADB=45. ∴∠CDF=90-∠ADB=45. ∵sin ∠ABD=, ∴AE=ABsin ∠ABD=2sin 45=2=2>, ∴在AB和AD邊上符合P到BD的距離為的點有2個. 答案:A 7.如圖為八個全等的正六邊形緊密排列在同一平面上的情形.根據(jù)圖中標示的各點位置,判斷△ACD與下列哪一個三角形全等?(　　) A.△ACF B.△AED C.△ABC D.△BCF 解析:∵根據(jù)圖形可知AD=AD,AE=AC,DE=DC,∴△ACD≌△AED. 答案:B 8.如圖,某飛機在空中A處探測到它的正下方地平面上目標C,此時飛行高度AC=1 200 m,從飛機上看地平面指揮臺B的仰角α=30,則飛機A與指揮臺B的距離為(　　) A.1 200 m B.1 200 m C.1 200 m D.2 400 m 解析:∵∠ABC=∠α=30, ∴AB==2 400(m). 答案:D 9. 如圖,若正方形網(wǎng)格中每個小方格的邊長為1,則△ABC是(　　) A.直角三角形 B.銳角三角形 C.鈍角三角形 D.等腰三角形 解析:根據(jù)勾股定理計算出BC2,AB2,AC2,再根據(jù)勾股定理逆定理可得△ABC是直角三角形. 答案:A 10.如圖,點A,C都在直線l上,AE⊥AB且AE=AB,BC⊥CD且BC=CD,三點E,B,D到直線l的距離分別是6,3,4,計算圖中由線段AB,BC,CD,DE,EA所圍成的圖形的面積是(　　) A.50 B.62 C.65 D.68 解析:如圖,過點E,B,D分別作EF⊥l,BG⊥l,DH⊥l,點F,G,H分別為垂足. 易得△EFA≌△AGB,△BGC≌△CHD,從而AF=BG,AG=EF;GC=DH,CH=BG.故FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16, 則所求面積為(6+4)16-34-63=50. 答案:A 二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分) 11.如圖,AC與BD相交于點O,且AB=CD,請?zhí)砑右粋€條件　　　　　,使得△ABO≌△CDO. 解析:由題意可知∠AOB=∠COD,AB=CD, ∵AB是∠AOB的對邊,CD是∠COD的對邊, ∴只能添加角相等,故可添加∠A=∠C或∠B=∠D或AB∥CD. 答案:∠A=∠C (或AB∥CD 或∠B=∠D) 12.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90,∠BAC的角平分線AD交BC于點D,CD=2,則點D到AB的距離是　　　. 解析:由角平分線的性質,得點D到AB的距離等于CD,也是2. 答案:2 13.如圖,在△ABC中,AB=BC=4,AO=BO,P是射線CO上的一個動點,∠AOC=60,則當△PAB為直角三角形時,AP的長為　　　　　. 解析:如圖,分三種情況討論: (1) (2) (3) 圖(1)中,∠APB=90, ∵AO=BO,∠APB=90, ∴PO=AO=BO=2, 又∠AOC=60,∴△APO是等邊三角形, ∴AP=2. 圖(2)中,∠APB=90, ∵AO=BO,∠APB=90, ∴PO=AO=BO=2, 又∠AOC=60,∴∠BAP=30, 在Rt△ABP中,AP=cos 304=2. 圖(3)中,∠ABP=90, ∵BO=AO=2 ,∠BOP=∠AOC=60, ∴PB=2. ∴AP==2. 答案:2,2或2 14. 已知△ABC是直角邊長為1的等腰直角三角形,以Rt△ABC的斜邊AC為直角邊,畫第二個等腰Rt△ACD,再以Rt△ACD的斜邊AD為直角邊,畫第三個等腰Rt△ADE,…,依此類推,第n個等腰直角三角形的斜邊長是　　　　　. 解析:反復運用勾股定理,得AC=,AD=()2,AE=()3,…,所以第n個等腰直角三角形的斜邊長是()n. 答案:()n 三、(本大題共2小題,每小題8分,共16分) 15. 如圖,銳角三角形ABC中,直線l為BC的中垂線,直線m為∠ABC的角平分線,l與m相交于P點.若∠A=60,∠ACP=24,求∠ABP的度數(shù). 解:∵直線m為∠ABC的角平分線, ∴∠ABP=∠CBP. ∵直線l為BC的中垂線, ∴BP=CP, ∴∠CBP=∠BCP, ∴∠ABP=∠CBP=∠BCP, 在△ABC中,3∠ABP+∠A+∠ACP=180,即3∠ABP+60+24=180, 解得∠ABP=32. 16. 如圖所示,在直角梯形ABCD中,∠ABC=90,AD∥BC,AB=BC,E是AB的中點,CE⊥BD. (1)求證:BE=AD. (2)求證:AC是線段ED的垂直平分線. (3)△DBC是等腰三角形嗎?并說明理由. (1)證明:∵∠ABC=90,BD⊥EC, ∴∠1與∠3互余,∠2與∠3互余. ∴∠1=∠2. ∵∠ABC=∠DAB=90,AB=BC, ∴△BAD≌△CBE(ASA). ∴AD=BE. (2)證明:∵E是AB中點, ∴EB=EA. 由(1)AD=BE得AE=AD. ∵AD∥BC,∴∠7=∠ACB=45. ∵∠6=45, ∴∠6=∠7.由等腰三角形的性質,得EM=MD,AM⊥DE. ∴AC是線段ED的垂直平分線. (3)解:△DBC是等腰三角形(CD=BD). 理由:由(2),得CD=CE.由(1),得CE=BD. ∴CD=BD. ∴△DBC是等腰三角形. 四、(本大題共2小題,每小題8分,共16分) 17. 如圖,已知∠DAB+∠D=180,AC平分∠A,且∠CAD=25,∠B=95. (1)求∠DCA的度數(shù); (2)求∠ACE的度數(shù). 解:(1)∵∠DAB+∠D=180, ∴AB∥CD. ∵∠CAD=∠CAB=25, ∴∠DCA=∠CAB=25. (2)∵∠CAD=∠CAB=25,∠B=95, ∠ACE是△ABC的外角, ∴∠ACE=∠B+∠CAB=95+25=120. 18.如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,△ABC和△ABC關于AC所在的直線對稱,AD和BC相交于點O,連接BB. (1)請直接寫出圖中所有的等腰三角形(不添加字母); (2)求證:△ABO≌△CDO. (1)解:△ABB,△AOC和△BBC; (2)證明:在?ABCD中,AB=DC,∠ABC=∠D, 由軸對稱知AB=AB,∠ABC=∠ABC, ∴AB=CD,∠ABO=∠D. 在△ABO和△CDO中, ∴△ABO≌△CDO. 五、(本大題共2小題,每小題10分,共20分) 19.2015年4月25日14時11分,尼泊爾發(fā)生8.1級地震,震源深度20 km.中國救援隊火速趕往災區(qū)救援,探測出某建筑物廢墟下方點C處有生命跡象.在廢墟一側某面上選兩探測點A,B,AB相距2 m,探測線與該面的夾角分別是30和45(如圖).試確定生命所在點C與探測面的距離.(參考數(shù)據(jù)≈1.41,≈1.73) 解:過點C作CD⊥AB, 設CD=x m, ∵∠ABE=45,∴∠CBD=45, ∴DB=CD=x m, ∵∠CAD=30, ∴AD=CD=x m. ∵AB相距2米,∴x-x=2, 解得x=. 答:生命所在點C與探測面的距離是 m. 20.如圖,在四邊形ABCD中,對角線AC,BD交于點E,∠BAC=90,∠CED=45,∠DCE=30,DE=,BE=2. (1)求CD的長; (2)求四邊形ABCD的面積. 解:(1)如圖,過點D作DH⊥AC, ∵∠CED=45,DH⊥EC,DE=, ∴EH=DH, ∵EH2+DH2=ED2, ∴EH2=1,∴EH=DH=1. 又∵∠DCE=30,∴DC=2. (2)由(1)知HC=, ∵∠AEB=45,∠BAC=90,BE=2, ∴AB=AE=2,∴AC=2+1+=3+, ∴2(3+)+1(3+)=. 六、(本題滿分12分) 21.如圖,AB=AC,CD⊥AB于D,BE⊥AC于E,BE與CD相交于點O. (1)求證:AD=AE; (2)連接BC,DE,試判斷BC與DE的位置關系,并說明理由. 證明:(1)在△ACD與△ABE中, ∵∠A=∠A,∠ADC=∠AEB=90,AB=AC, ∴△ACD≌△ABE.∴AD=AE. (2)互相平行. 在△ADE與△ABC中, ∵AD=AE,AB=AC, ∴∠ADE=∠AED,∠ABC=∠ACB,且∠ADE==∠ABC. ∴DE∥BC. 七、(本題滿分12分) 22.如圖,在△ABC中,AD是∠BAC的角平分線,且∠B=∠ADB,過點C作CM垂直于AD的延長線,垂足為M. (1)若∠DCM=α,試用α表示∠BAD; (2)求證:AB+AC=2AM. 解:(1)∵CM⊥AM,∠DCM=α, ∴∠CDM=∠ADB=∠B=90-α, ∴∠BAD=180-2∠ABD=180-2(90-α)=2α. (2)證明:如圖,延長AM到F使MF=AM,連接CF,則有AC=CF. ∵AD平分∠CAB,∴∠CAF=∠BAF=∠F. ∴CF∥AB. ∴∠FCD=∠ABD=∠ADB=∠CDF. ∴CF=DF. ∵AD+DF=2MA,∴AB+AC=2MA. 八、(本題滿分14分) 23.我們把兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”.例如圖1,圖2,圖3中,AF,BE是△ABC的中線,AF⊥BE ,垂足為P.像△ABC這樣的三角形均為“中垂三角形”.設BC=a,AC=b,AB=c. 特例探索 (1)如圖1,當∠ABE=45,c=2時,a=　　　　　 ,b=　　　　　; 如圖2,當∠ABE=30,c=4時,a=　　　　　,b=　　　　　; 圖1 圖2 圖3 歸納證明 (2)請你觀察(1)中的計算結果,猜想a2,b2,c2三者之間的關系,用等式表示出來,利用圖3證明你發(fā)現(xiàn)的關系式; 拓展應用 (3)如圖4,在?ABCD中,點E,F,G分別是AD,BC,CD的中點,BE⊥EG,AD=2,AB=3,求AF的長. 圖4 解:(1)如圖1,連接EF,則EF是△ABC的中位線, ∴EF=AB=. ∵∠ABE=45,AF⊥BE, ∴△ABP是等腰直角三角形. ∵EF∥AB , ∴△EFP也是等腰直角三角形. ∴AP=BP=2 ,EP=FP=1. ∴AE=BF=. ∴a=b=2. 圖1 圖2 圖3 圖4 如圖2,連接EF,則EF是△ABC的中位線. ∵∠ABE=30,AF⊥BE,AB=4, ∴AP=2,BP=2. ∵EFAB, ∴PE=,PF=1. ∴AE=,BF=. ∴a=2 ,b=2. (2)a2+b2=5c2. 如圖3,連接EF,設AP=m ,BP=n, 則c2=AB2=m2+n2, ∵EFAB, ∴PE=BP=n,PF=AP=m. ∴AE2=m2+n2,BF2=n2+m2. ∴b2=AC2=4AE2=4m2+n2, a2=BC2=4BF2=4n2+m2. ∴a2+b2=5(m2+n2)=5c2. (3)如圖4,延長EG,BC交于點Q,延長QD,BA交于點P,延長QE,BE分別交PB,PQ于點M,N,連接EF. ∵四邊形ABCD是平行四邊形, ∴ADBC,ABCD. ∵E,G分別是AD,CD的中點, ∴△EDG≌△QCG≌△EAM, ∴CQ=DE=,DG=AM=1.5, ∴BM=4.5. ∵, ∴. ∴BP=9.∴M是BP的中點. ∵ADFQ, ∴四邊形ADQF是平行四邊形. ∴AF∥PQ. ∵E,F分別是AD,BC的中點,∴AEBF. ∴四邊形ABFE是平行四邊形, ∴OA=OF. 由AF∥PQ得: , , ∴. ∴PN=QN. ∴N是PQ的中點. ∴△BQP是“中垂三角形”, ∴PQ2=5BQ2-BP2=5(3)2-92=144, ∴PQ=12. ∴AF=PQ=4.