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提高板材成形效率的坐標(biāo)網(wǎng)分析法
J.H. Yoon, H. Huh.
機(jī)械工程學(xué)院，韓國高級(jí)科學(xué)協(xié)會(huì)和技術(shù)科學(xué)鎮(zhèn)
Daejeon 305-701,南韓
摘要
本篇文章是采用一種新推出的方法來對提高板材的成形效率進(jìn)行分析,這種方法就是坐標(biāo)網(wǎng)分析法。這種方法就是研究扭曲單體，即通過適當(dāng)?shù)难芯恳?guī)范，建立補(bǔ)片，包括修正后的單體。每一片都被擴(kuò)展到一個(gè)三維的表面從而獲得一個(gè)連續(xù)坐標(biāo)的信息。在構(gòu)造表面時(shí)，應(yīng)包括每一個(gè)片，NURBS(非均勻有理B樣條)表面被用來描述一個(gè)三維自由表面。以被構(gòu)造表面為基礎(chǔ)，每一個(gè)節(jié)點(diǎn)一般被安排成一個(gè)非常接近正方形的單體元素。計(jì)算狀態(tài)函數(shù)是從它原始的網(wǎng)格系統(tǒng)映射到新的網(wǎng)格之內(nèi)，從而對成形進(jìn)行下一階段的分析或更進(jìn)一步的分析。按網(wǎng)格方法的分析結(jié)果與沒有坐標(biāo)網(wǎng)方法直接成行的分析結(jié)果相比較來確定哪一種方法是更有效的。
? 2003 Elsevier B.V. 版權(quán)所有.
關(guān)鍵詞：坐標(biāo)網(wǎng)；變形單體；NURBS；有限元分析
1. 概述
隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)和數(shù)字技術(shù)的結(jié)合和快速發(fā)展，用數(shù)字模擬進(jìn)行板材成形加工達(dá)到空前的繁榮。數(shù)字分析對復(fù)雜幾何圖形的板材成形和多級(jí)成形都可以做到。對于一個(gè)復(fù)雜的幾何模型來說，盡管局部嚴(yán)重變形將會(huì)導(dǎo)致計(jì)算時(shí)間的增加和數(shù)據(jù)分析的減少。從而使分析結(jié)果更加不準(zhǔn)確。幾何網(wǎng)格的扭曲和嚴(yán)重變形對板材成形的質(zhì)量有很大影響,特別是對于多級(jí)成形。當(dāng)上一級(jí)成形的分析結(jié)果用于下一級(jí)成形分析時(shí)，幾何網(wǎng)格的扭曲和變形對分析結(jié)果影響更大。這種被扭曲網(wǎng)格的錯(cuò)誤表象可以通過整體的或自適應(yīng)重嚙合技術(shù)的網(wǎng)格系統(tǒng)的重建來避免。在模擬期間，減少單體扭曲，自適應(yīng)重嚙合技術(shù)被認(rèn)為是一種有效的方法。但是，它仍然需要大量的計(jì)算，并且在單體的細(xì)分中也受到限制。
要構(gòu)造一個(gè)網(wǎng)格系統(tǒng)的有效方法已經(jīng)被許多研究人員提上日程。典型的方法可能是下面幾種：r-方法，h-方法，p-方法。r-方法就是在網(wǎng)格系統(tǒng)的總的自由度不變的情況下，節(jié)點(diǎn)被完全重排；h-方法就是在元素單體具有相同的自由度的情況下讓網(wǎng)格的數(shù)目增加；p-方法就是通過網(wǎng)格系統(tǒng)的整體自由度的增加來提高分析的準(zhǔn)確性。Sluiter 和Hansen[文獻(xiàn)4]和Talbert 和 Parkinson[文獻(xiàn)5]構(gòu)造了一個(gè)晶格分析范圍，它像一個(gè)連續(xù)的環(huán)，而且是從主要環(huán)中分離出的子環(huán)元素。Lo[文獻(xiàn)6]在整個(gè)晶格范圍內(nèi)構(gòu)造了一個(gè)三角形元，并且通過合并鄰近的三角形元而構(gòu)造矩形元素。
本篇文章中的坐標(biāo)網(wǎng)方法是一種新推出的方法,它旨在用有限元分析提高板材成形效率。坐標(biāo)網(wǎng)法根據(jù)一些規(guī)范可以自動(dòng)地找出變形單體，并對這些片進(jìn)行修正。然后，每一片都被擴(kuò)展到一個(gè)三維表面用來獲得在三維表面的連續(xù)坐標(biāo)系的信息。這個(gè)包含了每一片的表面用來作為使用了NURBS的三維自由表面來描述。以被構(gòu)造表面為基礎(chǔ)，每一個(gè)節(jié)點(diǎn)都被徹底改變，用來組成一個(gè)正方形的規(guī)則單體。狀態(tài)函數(shù)的計(jì)算是從它原始幾何網(wǎng)格映射到新的網(wǎng)格之內(nèi)，從而進(jìn)行下一階段的成形分析。從得到的數(shù)據(jù)結(jié)果中證實(shí)使用坐標(biāo)網(wǎng)方法的效率和結(jié)果的準(zhǔn)確性。這也證實(shí)了此種方法在板材構(gòu)件碰撞分析的成形模擬中的有效性。
2. 體的規(guī)則化
之所以要介紹對變形體的修正使之成為一個(gè)規(guī)則化過程，是為了提高變形體在下一個(gè)有限元計(jì)算中的分析效率。在規(guī)則化過程中，變形體根據(jù)適當(dāng)?shù)乃阉饕?guī)范有選擇的分配到各片。這些片通過分析NURBS在連續(xù)坐標(biāo)系的三維表面上的全部數(shù)據(jù)而擴(kuò)展到一個(gè)三維表面。變形后的每個(gè)節(jié)點(diǎn)為了得到一個(gè)新坐標(biāo)將被調(diào)整為一個(gè)近似正方形的規(guī)則單體。
2.1 網(wǎng)格變形標(biāo)準(zhǔn)
變形有兩種幾何標(biāo)準(zhǔn)可供選擇：一是內(nèi)角；另一個(gè)是單體縱橫比。
2.1.1 內(nèi)角
從有限元計(jì)算中得到矩形元素的內(nèi)角應(yīng)是接近直角的。Zhu et al. [文獻(xiàn)7]給了這種元素一個(gè)合理的定義，就是當(dāng)四個(gè)內(nèi)角都是在 90 ?±45 ?的范圍內(nèi)時(shí)。同時(shí)Lo和Lee[文獻(xiàn)8]也提出了相同情況下的內(nèi)角，角度在90 ?±52.5?范圍內(nèi)。內(nèi)角的網(wǎng)孔變形是由式（1）的構(gòu)成所決定的。當(dāng)式 (1).小于π/3 或 (δθi)max在式(3) [9]中大于π/6 網(wǎng)孔被認(rèn)為是變形的。這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)之所以相當(dāng)嚴(yán)格是為了避免萬一在限制區(qū)域應(yīng)用規(guī)則化方法受到幾何圖形的限制：
2.1.2 單體縱橫比
四條邊具有相同長度的理想單體的縱橫比應(yīng)該是一致的。縱橫比被定義如式（4），并且當(dāng)變形小于5即比嚴(yán)格標(biāo)準(zhǔn)少很多時(shí)，它也被定義：
此處rij表示單體邊長。
2.2.作圖范圍
2.2.1 片的設(shè)計(jì)
通過網(wǎng)格變形標(biāo)準(zhǔn)所選擇的變形單體，根據(jù)它們在幾何成形時(shí)外形的復(fù)雜程度被分不到各個(gè)不同的區(qū)域。這些單體被分配到各片，并用來構(gòu)造算法效率。這些片的形狀被拼湊成矩形，包括所有變形體，目的是擴(kuò)大規(guī)則化和NURBS表面在下一部分說明中的應(yīng)用。這個(gè)過程如圖1所示，當(dāng)孔和邊緣被設(shè)置在變形體中時(shí)，這些區(qū)域被填滿，從而得到矩形片。
然后，這些片利用NURBS表面映射到一個(gè)三維自由表面。這個(gè)過程對于在三維表面上獲得連續(xù)坐標(biāo)的全部信息是非常重要的。NURBS表面在使用較少的數(shù)據(jù)點(diǎn)和由于局部改變而不改變這個(gè)區(qū)域的數(shù)據(jù)的情況下快速的描述這個(gè)復(fù)雜的形狀。
2.2.2 NURBS表面
NURBS表面通常通過如式(5)來表述，像p-向量在u-方向中和q-向量在v-方向中[10]:
此處Pi,j是控制點(diǎn)如u-， q- 方向。Wi,j是加權(quán)因子，是基礎(chǔ)函數(shù)通過式(6)來表達(dá)：
為了把這些點(diǎn)映射到構(gòu)造的表面上，一系列連續(xù)的點(diǎn)在NURBS表面創(chuàng)建了。每一個(gè)用規(guī)則化方法移動(dòng)過的節(jié)點(diǎn)都被定位，以至于在NURBS表面上定位點(diǎn)在兩節(jié)點(diǎn)之間有最小距離。這些移動(dòng)過的連續(xù)節(jié)點(diǎn)的信息都被存儲(chǔ)，用來構(gòu)造一個(gè)新的網(wǎng)格系統(tǒng)。
2.3 規(guī)則化過程
規(guī)則化方法與形成矩形片單體一起完成的。規(guī)則化的有限元通過圖2所示次序被依次選擇。每一個(gè)被選擇的單體都被分成兩個(gè)三角形元，并且這些三角形元通過圓心的重定位都由直角三角形元組成，圓的直徑如式(7)和圖3所示，從X1到X2。當(dāng)這個(gè)過程結(jié)束的時(shí)候，相同的過程在另一方向被重復(fù)：
通過規(guī)則化方法對節(jié)點(diǎn)的重定位，其最終位置被在NURBS表面上的點(diǎn)的位置所代替。當(dāng)規(guī)則化過程完成后，為產(chǎn)生粗糙的區(qū)域，一個(gè)簡單的緩和的過程通過式（8）被執(zhí)行：
此處PN是新節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)，Ai 臨近區(qū)域的元素的坐標(biāo)，Ci 臨近元素的質(zhì)心。
2.4 變形程度
作為一個(gè)變形因子，變形程度(LD)是最新提出的 ，LD可能是用來評估單體在質(zhì)量方面改進(jìn)的程度：
此處
LD在0和1之間浮動(dòng)；當(dāng)LD=1時(shí)，單體是一個(gè)方形的理想單體，當(dāng)LD=0時(shí)，四邊形元變成了三角形元。時(shí)單體的四個(gè)內(nèi)角，因此A是內(nèi)角因子，B是單體側(cè)面長寬比的因子并且為了使LD對B的變化不那么敏感，B被定義為雙曲線正切函數(shù)。例如，當(dāng)單體側(cè)面合理的長寬比是1：4時(shí)，B的值可以通過和來調(diào)整，使函數(shù)B的斜率圍繞著B’=0.25急劇變化。結(jié)果，當(dāng)?shù)拈L寬比小于0.25時(shí)，LD的值急劇增加，當(dāng)大于0.25時(shí)，LD的值增加緩慢。這種方法可以調(diào)節(jié)內(nèi)角和長寬比使它們在LD上有相同的效果。
2.5 狀態(tài)函數(shù)的映射
當(dāng)坐標(biāo)網(wǎng)系統(tǒng)用于下一步的成形分析或結(jié)構(gòu)分析的計(jì)算時(shí)，狀態(tài)函數(shù)的映射就是非常必要的，通過映射，可以在考慮上一步成型過程的前提下得到更準(zhǔn)確的分析。映射過程就是通過狀態(tài)函數(shù)的計(jì)算把原來的網(wǎng)格系統(tǒng)映射到新的坐標(biāo)網(wǎng)系統(tǒng)。如圖4所示，一個(gè)球面在一個(gè)新節(jié)點(diǎn)周圍建立，將導(dǎo)致球面上節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)函數(shù)影響新節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)函數(shù)。新節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)函數(shù)是由球面上原來節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)函數(shù)所決定的，如式(12)所示，加權(quán)因子在兩節(jié)點(diǎn)的距離上成反比。
此處Vj是原始網(wǎng)格系統(tǒng)的狀態(tài)函數(shù)的計(jì)算結(jié)果，rj使新節(jié)點(diǎn)到附近節(jié)點(diǎn)的距離。
3.數(shù)例
3.1.1 油盤的成形分析
油盤在沖壓車間一般要經(jīng)過兩個(gè)工序制作，而根據(jù)現(xiàn)在這種方法，單工序沖壓就可以完成。如圖5所示的凸模和模架。
不論什么時(shí)候有限元系統(tǒng)需要提高計(jì)算效率，規(guī)則化方法都可應(yīng)用于其中。在這個(gè)范例中，這種方法應(yīng)用于油盤成形分析中的兩次成形間隙，如圖6所示。
圖7說明了規(guī)則化方法的過程。圖7（a）所示為成形時(shí)凸模行程為60%時(shí)的變形，有3個(gè)地方發(fā)生了網(wǎng)格變形，也就是片的數(shù)量是3。變形網(wǎng)格是根據(jù)2個(gè)網(wǎng)格變形的幾何規(guī)范來選取的。如圖7所示的包括所有變形體的矩形片的形成。最終補(bǔ)片中的單體被規(guī)則化，如圖7（c）所示。
為了評價(jià)應(yīng)用規(guī)則化系統(tǒng)后的單體質(zhì)量的改進(jìn)程度，應(yīng)用規(guī)則化網(wǎng)格系統(tǒng)的LD值與原始網(wǎng)格系統(tǒng)的值相比較，結(jié)果如圖8所示應(yīng)用了規(guī)則化系統(tǒng)的LD值在整個(gè)單體上均勻分布，而應(yīng)用了一般網(wǎng)格系統(tǒng)的LD值則在很大范圍內(nèi)變化。這
就意味著在相同的變形程度下，應(yīng)用規(guī)則化網(wǎng)格系統(tǒng)其質(zhì)量提高了。結(jié)果如圖9 所示，應(yīng)用了規(guī)則化網(wǎng)格系統(tǒng)的有限元計(jì)算明顯領(lǐng)先于直接分析的。在油盤成形分析中，應(yīng)用規(guī)則化網(wǎng)格系統(tǒng)可使計(jì)算時(shí)間減少了大約12%甚至減少了2倍，計(jì)算時(shí)間的減少量可能會(huì)隨著更頻繁的規(guī)則化調(diào)整而增加。
3.2 構(gòu)件主視圖的斷裂分析
碰撞分析通常是在不考慮成形結(jié)果的情況下采用網(wǎng)格系統(tǒng)完成的成形分析。如果考慮成形結(jié)果，即考慮分析結(jié)果的準(zhǔn)確性和可靠性，那么用于成形分析的網(wǎng)格系統(tǒng)可能會(huì)直接應(yīng)用于碰撞分析來分析其效率。成形分析后，在沒有重組合的情況下直接進(jìn)行碰撞分析從而導(dǎo)致網(wǎng)格系統(tǒng)有很多網(wǎng)格發(fā)生了嚴(yán)重的扭曲和變形。一種補(bǔ)救的方法就是創(chuàng)建一個(gè)新的網(wǎng)格系統(tǒng)，另一種方法就是成形分析之后修正網(wǎng)格系統(tǒng)。如果重組合過程能夠成功應(yīng)用，應(yīng)用后一種方法將非常有效。作為一種有效的重組合過程，規(guī)則化方法可以把變形網(wǎng)格轉(zhuǎn)換成一個(gè)新的正方形中去。本例中，構(gòu)件主板部分被命名為強(qiáng)化板，如圖10所示，它被選擇來進(jìn)行碰撞分析。在成形分析后的構(gòu)件的局部變形區(qū)域，不規(guī)則的有限元通過如圖11所示的規(guī)則化方法修正成規(guī)則的單體，這個(gè)坐標(biāo)網(wǎng)系統(tǒng)就用在碰撞分析中，如圖12所示。
使用坐標(biāo)網(wǎng)系統(tǒng)的碰撞分析可以在不影響分析結(jié)果準(zhǔn)確性的前提下通過選擇更大的時(shí)間間隔完成，如圖13所示。和原來的網(wǎng)格系統(tǒng)的計(jì)算時(shí)間比較，碰撞分析的時(shí)間減少了40%，分析結(jié)果在所用時(shí)間和計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性方面都是較
好的，并且還證明了坐標(biāo)網(wǎng)系統(tǒng)可以有效的提高數(shù)字分析效率。
4 結(jié)論
坐標(biāo)網(wǎng)方法是一種新推出的用來提高有限元分析板材成形性能的方法。在板材成形分析中的網(wǎng)格變形如此嚴(yán)重，導(dǎo)致后來的分析困難或得到的結(jié)果不準(zhǔn)確，但是現(xiàn)行的這種坐標(biāo)網(wǎng)分析法對于重組合又最小作用，還可以避免上述情況。在逐漸增加的分析中或多級(jí)成形的下一級(jí)分析中，坐標(biāo)網(wǎng)格可以完成。從板材成形模擬中可以獲得成形構(gòu)件的斷裂分析，當(dāng)坐標(biāo)網(wǎng)可以完成這些時(shí)，它也證明了使用坐標(biāo)網(wǎng)分析性能得到很大提高。數(shù)字結(jié)果既證實(shí)了用坐標(biāo)網(wǎng)分析法的有效性和效率性又證明了結(jié)果的準(zhǔn)確性。
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