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華北地區(qū)2012年中考數(shù)學(xué)試題（8套）分類解析匯編（6專題） 專題3：幾何問題 錦元數(shù)學(xué)工作室 編輯 1、 選擇題 1. （2012北京市4分） 正十邊形的每個(gè)外角等于【 】 A． B． C． D． 【答案】B。 【考點(diǎn)】多邊形外角性質(zhì)。 【分析】根據(jù)外角和等于3600的性質(zhì)，得正十邊形的每個(gè)外角等于360010=360。故選B。 2.（2012北京市4分）下圖是某個(gè)幾何體的三視圖，該幾何體是【 】 A．長(zhǎng)方體 B．正方體 C．圓柱 D．三棱柱 【答案】D。 【考點(diǎn)】由三視圖判斷幾何體。 【分析】主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、左面和上面看，所得到的圖形，由于主視圖和左視圖為矩形，可得為柱體，俯視圖為三角形可得為三棱柱。故選D。 3. （2012北京市4分）如圖，直線AB，CD交于點(diǎn)O，射線OM平分∠AOD，若∠BOD=760，則∠BOM 等于【 】 A． B． C． D． 【答案】C。 【考點(diǎn)】角平分線定義，對(duì)頂角的性質(zhì)，補(bǔ)角的定義。 【分析】由∠BOD=760，根據(jù)對(duì)頂角相等的性質(zhì)，得∠AOC=760，根據(jù)補(bǔ)角的定義，得∠BOC=1040。 由射線OM平分∠AOD，根據(jù)角平分線定義，∠COM=380。 ∴∠BOM=∠COM＋∠BOC=1420。故選C。 4. （2012天津市3分）的值等于【 】 （A）1 （B） （C） （D）2 【答案】A。 【考點(diǎn)】特殊角的三角函數(shù)值。 【分析】根據(jù)cos60=進(jìn)行計(jì)算即可得解：2cos60=2=1。故選A。 5. （2012天津市3分）下列標(biāo)志中，可以看作是中心對(duì)稱圖形的是【 】 （A） （B） （C） （D） 【答案】B。 【考點(diǎn)】中心對(duì)稱圖形。 【分析】根據(jù)中心對(duì)稱圖形的概念：把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形，由此結(jié)合各圖形的特點(diǎn)求解：A、C、D都不符合中心對(duì)稱的定義。故選B。 6. （2012天津市3分）將下列圖形繞其對(duì)角線的交點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)900，所得圖形一定與原圖形重合的是【 】 （A）平行四邊形 （B）矩形 （C）菱形 （D）正方形 【答案】D。 【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形 【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的性質(zhì)，可得出四邊形需要滿足的條件：此四邊形的對(duì)角線互相垂直、平分且相等，則這個(gè)四邊形是正方形。故選D。 7.（2012天津市3分）右圖是一個(gè)由4個(gè)相同的正方體組成的立體圖形，它的三視圖是【 】 【答案】A。 【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單組合體的三視圖。 【分析】主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、左面和上面看，所得到的圖形。從正面看可得從左往右2列正方形的個(gè)數(shù)依次為1，2；從左面看可得到從左往右2列正方形的個(gè)數(shù)依次為2，1；從上面看可得從上到下2行正方形的個(gè)數(shù)依次為1，2。故選A。 8.（2012天津市3分）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，M為邊AD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)MD至點(diǎn)E，使ME=MC，以DE為邊作正方形DEFG，點(diǎn)G在邊CD上，則DG的長(zhǎng)為【 】 （A） （B） （C） （D） 【答案】D。 【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)，勾股定理。 【分析】利用勾股定理求出CM的長(zhǎng)，即ME的長(zhǎng)，有DM=DE，所以可以求出DE，從而得到DG的長(zhǎng)：∵四邊形ABCD是正方形，M為邊AD的中點(diǎn)，∴DM=DC=1。 ∴?！郙E=MC= 。∴ED=EM－DM=。 ∵四邊形EDGF是正方形，∴DG=DE= 。故選D。 9. （2012河北省2分）圖中幾何體的主視圖為【 】 A． B． C． D． 【答案】A。 【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單幾何體的三視圖 【分析】主視圖是從正面看所得到的圖形，從正面看圖中幾何體的主視圖為A，故選A。 10. （2012河北省2分）如圖，CD是⊙O的直徑，AB是弦（不是直徑），AB⊥CD于點(diǎn)E，則下列結(jié)論正確的是【 】 A．AE＞BE B． C．∠D=∠AEC D．△ADE∽△CBE 【答案】D。 【考點(diǎn)】垂徑定理，圓周角定理，三角形外角性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)。 【分析】∵CD是⊙O的直徑，AB是弦（不是直徑），AB⊥CD于點(diǎn)E， ∴根據(jù)垂徑定理，得AE=BE。故選項(xiàng)A錯(cuò)誤。 如圖，連接AC，則根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等的性質(zhì)，得∠D=∠B， ∴BC=AC。 根據(jù)垂徑定理，只有在AB是直徑時(shí)才有AC=AD，而AB不是直徑，∴AD≠AC。∴。 ∴。故選項(xiàng)B錯(cuò)誤。 如圖，連接AO，則根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角是圓心角一半的性質(zhì)，得∠D=∠AOC。 ∵∠AEC是△AOE的外角，∴∠AEC＞∠AOC?！唷螪＜∠AEC。故選項(xiàng)C錯(cuò)誤。 ∵根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等的性質(zhì)，得∠D=∠B，∠DAE=∠BCE， ∴△ADE∽△CBE。故選項(xiàng)D正確。 故選D。 11. （2012河北省3分）如圖，點(diǎn)C在∠AOB的OB邊上，用尺規(guī)作出了CN∥OA，作圖痕跡中， 是【 】 A．以點(diǎn)C為圓心，OD為半徑的弧 B．以點(diǎn)C為圓心，DM為半徑的弧 C．以點(diǎn)E為圓心，OD為半徑的弧 D．以點(diǎn)E為圓心，DM為半徑的弧 【答案】D。 【考點(diǎn)】作圖（基本作圖），平行線的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)。 【分析】根據(jù)同位角相等兩直線平行，要想得到CN∥OA，只要作出∠BCN=∠AOB即可，然后再根據(jù)作一個(gè)角等于已知角的作法解答： 根據(jù)題意，所作出的是∠BCN=∠AOB，根據(jù)作一個(gè)角等于已知角的作法，是以點(diǎn)E為圓心，DM為半徑的弧。故選D。 12. （2012河北省3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠A=70，將平行四邊形折疊，使點(diǎn)D、C分別落在點(diǎn)F、E處（點(diǎn)F、E都在AB所在的直線上），折痕為MN，則∠AMF等于【 】 A．70 B．40 C．30 D．20 【答案】B。 【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問題），平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，平角的定義。 【分析】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD。 ∵根據(jù)折疊的性質(zhì)可得：MN∥AE，∠FMN=∠DMN，∴AB∥CD∥MN。 ∵∠A=70，∴∠FMN=∠DMN=∠A=70。 ∴∠AMF=180－∠DMN－∠FMN=180－70－70=40。故選B。 13. （2012內(nèi)蒙古包頭3分）在Rt △ ABC 中，∠C=900，若AB =2AC ，則sinA 的值是【 】 A . B . C. D. 【答案】C。 【考點(diǎn)】銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值。 【分析】∵∠C=900，AB =2AC，∴?！唷螦=600。 ∴sinA= sin600=。故選C。 14. （2012內(nèi)蒙古包頭3分）如圖，過口ABCD的對(duì)角線BD 上一點(diǎn)M 分別作平行四邊形兩邊的平行線EF與GH ，那么圖中的口AEMG的面積S1 與口HCFG的面積S2的大小關(guān)系是【 】 A .S1 > S2 B.S1 < S2 C .S1 = S2 D.2S1 = S2 【答案】C。 【考點(diǎn)】平行四邊形的判定和性質(zhì)。 【分析】易知，四邊形BHME和MFDG都是平行四邊形。 ∵平行四邊形的對(duì)角線把平行四邊形分成了兩個(gè)面積相等的三角形， ∴。 ∴，即S1 = S2。故選C。 15. （2012內(nèi)蒙古包頭3分）圓錐的底面直徑是80cm，母線長(zhǎng)90cm，則它的側(cè)面展開圖的圓心角是【 】 A .3200 B.400 C .1600 D.800 【答案】C。 【考點(diǎn)】圓錐的計(jì)算。 【分析】設(shè)圓錐側(cè)面展開圖的圓心角為no ， ∵圓錐底面圓的直徑是80cm，∴底面圓的周長(zhǎng)，即側(cè)面展開圖的弧長(zhǎng)為80πcm。 ∵圓錐的母線長(zhǎng)是90cm，∴側(cè)面展開圖的半徑為90cm。 ∴根據(jù)弧長(zhǎng)公式，得，解得n=160。故選C。 16. （2012內(nèi)蒙古包頭3分）在矩形ABCD 中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，∠AOD=900，矩形ABCD 的周長(zhǎng)為20cm，則AB 的長(zhǎng)為【 】 A.1 cm B. 2 cm C. cm D . cm 【答案】 D。 【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定。 【分析】∵點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，∴OB=0C。 ∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=DC，∠B=∠C=900。 ∴△ABO≌△DCO（SAS）。∴∠AOB=∠DOC。 ∵∠AOD=900，∴∠AOB=∠DOC=450?！郃B=OB。 ∵矩形ABCD 的周長(zhǎng)為20cm，∴AB=cm。故選D。17. （2012內(nèi)蒙古赤峰3分）一個(gè)空心的圓柱如圖所示，那么它的主視圖是【 】 A． B． C． D． 【答案】A。 【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單組合體的三視圖。 【分析】根據(jù)主視圖的定義，從前面看，得出圖形是一個(gè)矩形（它里面含一個(gè)看不見的小矩形），即選項(xiàng)A的圖形。故選A。 18.（2012內(nèi)蒙古赤峰3分）已知兩圓的半徑分別為3cm、4cm，圓心距為8cm，則兩圓的位置關(guān)系是【 】 　 A．外離 B．相切 C．相交 D．內(nèi)含 【答案】A。 【考點(diǎn)】?jī)蓤A的位置關(guān)系。 【分析】根據(jù)兩圓的位置關(guān)系的判定：外切（兩圓圓心距離等于兩圓半徑之和），內(nèi)切（兩圓圓心距離等于兩圓半徑之差），相離（兩圓圓心距離大于兩圓半徑之和），相交（兩圓圓心距離小于兩圓半徑之和大于兩圓半徑之差），內(nèi)含（兩圓圓心距離小于兩圓半徑之差）。因此， ∵兩圓的半徑分別為3cm、4cm，∴兩圓的半徑和為：3+4=7（cm）。 ∵圓心距為8cm＞7cm，∴兩圓的位置關(guān)系是：外離。故選A。 19. （2012內(nèi)蒙古赤峰3分）如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，以點(diǎn)C為圓心，CD為半徑的弧與BC交于點(diǎn)E，四邊形ABED是平行四邊形，AB=3，則扇形CDE（陰影部分）的面積是【 】 　 A． B． C．π D．3π 【答案】A。 【考點(diǎn)】等腰梯形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，扇形面積的計(jì)算。 【分析】∵四邊形ABCD是等腰梯形，且AD∥BC，∴AB=CD。 又∵四邊形ABED是平行四邊形，∴AB=DE（平行四邊形的對(duì)邊相等）。∴DE=DC=AB=3。 ∵CE=CD，∴CE=CD=DE=3，即△DCE是等邊三角形?！唷螩=60。 ∴扇形CDE（陰影部分）的面積為：。故選A。 20. （2012內(nèi)蒙古呼和浩特3分）如圖，已知a∥b，∠1=65，則∠2的度數(shù)為【 】 A．65 B．125 C．115 D．45 【答案】C。 【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)，對(duì)頂角的性質(zhì)。 【分析】∵∠1=65，∴∠3=∠1=65（對(duì)頂角相等）。 又∵a∥b，∴∠2=180﹣∠3=180﹣65=115（兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)）。故選C。 21. （2012內(nèi)蒙古呼和浩特3分）已知：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD=3，BC=7，則梯形的面積是【 】 A．25 B．50 C． D． 【答案】A。 【考點(diǎn)】等腰梯形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)。 【分析】 過點(diǎn)D作DE∥AC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，作DF⊥BC于F。 ∵AD∥BC，DE∥AC， ∴四邊形ACED是平行四邊形?！郃D=CE=3，AC=DE。 在等腰梯形ABCD中，AC=DB，∴DB=DE。 ∵AC⊥BD，AC∥DE，∴DB⊥DE?！唷鰾DE是等腰直角三角形?！郉F=BE=5。 S梯形ABCD=（AD+BC）?DF=（3+7）5=25。故選A。　 22. （2012山西省2分）如圖，直線AB∥CD，AF交CD于點(diǎn)E，∠CEF=140，則∠A等于【 】 　 A． 35 B． 40 C． 45 D． 50 【答案】B。 【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)，平角定義。 【分析】∵∠CEF=140，∴∠FED=180﹣∠CEF=180﹣140=40。 ∵直線AB∥CD，∴∠A=∠FED=40。故選B。 23. （2012山西省2分）如圖所示的工件的主視圖是【 】 A． B． C． D． 【答案】B。 【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單組合體的三視圖。 【分析】從物體正面看，看到的是一個(gè)橫放的矩形，且一條斜線將其分成一個(gè)直角梯形和一個(gè)直角三角形。故選B。 24. （2012山西省2分）如圖，AB是⊙O的直徑，C．D是⊙O上一點(diǎn)，∠CDB=20，過點(diǎn)C作⊙O的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則∠E等于【 】 　 A． 40 B． 50 C． 60 D． 70 【答案】B。 【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)，圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理。 【分析】如圖所示，連接OC。 ∵∠BOC與∠CDB是弧所對(duì)的圓心角與圓周角， ∴∠BOC=2∠CDB。 又∵∠CDB=20，∴∠BOC=40， 又∵CE為圓O的切線，∴OC⊥CE，即∠OCE=90。則∠E=90﹣40=50。故選B。 25. （2012山西省2分）如圖，已知菱形ABCD的對(duì)角線AC．BD的長(zhǎng)分別為6cm、8cm，AE⊥BC于點(diǎn)E，則AE的長(zhǎng)是【 】 　 A． B． C． D． 【答案】D。 【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)，勾股定理。 【分析】∵四邊形ABCD是菱形，∴CO=AC=3，BO=BD=，AO⊥BO， ∴?！?。 又∵，∴BCAE=24，即。故選D。 26.（2012山西省2分）如圖是某公園的一角，∠AOB=90，弧AB的半徑OA長(zhǎng)是6米，C是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)D在弧AB上，CD∥OB，則圖中休閑區(qū)（陰影部分）的面積是【 】 　 A．米2 B．米2 C．米2 D．米2 【答案】 C。 【考點(diǎn)】扇形面積的計(jì)算，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值。 【分析】連接OD，則。 ∵弧AB的半徑OA長(zhǎng)是6米，C是OA的中點(diǎn)，∴OC=OA=6=3。 ∵∠AOB=90，CD∥OB，∴CD⊥OA。 在Rt△OCD中，∵OD=6，OC=3，∴。 又∵，∴∠DOC=60。 ∴（米2）。故選C。 27.（2012內(nèi)蒙古呼倫貝爾3分）一個(gè)幾何體的三視圖如下圖所示，這個(gè)幾何體是【 】 A．球 B．圓柱 C．長(zhǎng)方體 D．圓錐 【答案】B。 【考點(diǎn)】由三視圖判斷幾何體。 【分析】由主視圖和左視圖確定是柱體，錐體還是球體，再由俯視圖確定，根據(jù)俯視圖是圓形可判斷出這個(gè)幾何體應(yīng)該是圓柱。故選B?！? 28.（2012內(nèi)蒙古呼倫貝爾3分）如圖①～④是四種正多邊形的瓷磚圖案．其中，是軸對(duì)稱圖形但不是中心對(duì)稱的圖形為【 】 A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】A。 【考點(diǎn)】軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形。 【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的概念，軸對(duì)稱圖形兩部分沿對(duì)稱軸折疊后可重合；中心對(duì)稱圖形是圖形沿對(duì)稱中心旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合。因此， ①是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形；②是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形；③是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形；④是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形。滿足條件的是①③。故選A?！? 29.（2012內(nèi)蒙古呼倫貝爾3分）如圖，A、B、C三點(diǎn)在⊙O上，若∠BOC=76，則∠BAC的度數(shù)是【 】 A．152 B．76 C．38 D．14 【答案】C。 【考點(diǎn)】圓周角定理。 【分析】直接根據(jù)圓周角定理進(jìn)行解答即可： ∵所對(duì)的圓心角是∠BOC，圓周角是∠BAC，∠BOC=76， ∴∠A=76=38。故選C。　 30.（2012內(nèi)蒙古呼倫貝爾3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90，∠BAC=30，AB=，將△ABC繞頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△A′B′C′的位置，且A、C、B′三點(diǎn)在同一條直線上，則點(diǎn)A經(jīng)過的路線的長(zhǎng)度是【 】 A．4 B． C． D． 【答案】D。 【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，弧長(zhǎng)的計(jì)算。 【分析】點(diǎn)A經(jīng)過的路線即以C為圓心，以AC的長(zhǎng)為半徑的?。媒庵苯侨切蔚闹R(shí)求得AC的長(zhǎng)和∠ACB的度數(shù)，從而求得∠ACA′的度數(shù)，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算： ∵將△ABC繞頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△A′B′C′的位置，∴∠ACB=∠A′CB′。 又∵∠ABC=90，∠BAC=30，∴∠ACB=∠A′CB′=60。 ∵A、C、B三點(diǎn)在同一條直線上，∴∠ACA′=120。 又∵∠BAC=30，AB=，∴。 ∴點(diǎn)A經(jīng)過的路線的長(zhǎng)度=。故選D?！? 31.（2012內(nèi)蒙古呼倫貝爾3分）如圖，△ABD中，EF∥BD交AB于點(diǎn)E、交AD于點(diǎn)F，AC交EF于點(diǎn)G、交BD于點(diǎn)C，S△AEG=S四邊形EBCG，則的值為【 】 A． B． C． D． 二、填空題 1. （2012北京市4分）如圖，小明同學(xué)用自制的直角三角形紙板DEF測(cè)量樹的高度AB，他調(diào)整自己的 位置，設(shè)法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點(diǎn)B在同一直線上．已知紙板的兩條直角邊DE=40cm， EF=20cm，測(cè)得邊DF離地面的高度AC=1.5 m，CD=8 m，則樹高AB= ▲ ． 【答案】5.5。 【考點(diǎn)】相似三角形的判定和性質(zhì)。 【分析】利用Rt△DEF和Rt△BCD相似求得BC的長(zhǎng)后加上小明同學(xué)的身高即可求得樹高AB： ∵∠DEF=∠BCD=90，∠D=∠D，∴△DEF∽△DCB?！?。 ∵DE=40cm=0.4m，EF=20cm=0.2m，AC=1.5m，CD=8m，∴。 ∴BC=4（m）。 ∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5（m）。 2. （2012天津市3分）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)D為⊙O上一點(diǎn)，若∠CAB=550，則∠ADC的大小為 ▲ （度）． 【答案】35。 【考點(diǎn)】圓周角定理，直角三角形兩銳角的關(guān)系。 【分析】∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90， ∵∠CAB=55，∴∠B=90－∠CAB=35?！唷螦DC=∠B=35。 3.（2012天津市3分）若一個(gè)正六邊形的周長(zhǎng)為24，則該正六邊形的面積為 ▲ ． 【答案】。 【考點(diǎn)】正多邊形和圓，等邊三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值。 【分析】根據(jù)題意畫出圖形，如圖，連接OB，OC，過O作OM⊥BC于M， ∴∠BOC=360=60。 ∵OB=OC，∴△OBC是等邊三角形?！唷螼BC=60。 ∵正六邊形ABCDEF的周長(zhǎng)為24，∴BC=246=4。 ∴OB=BC=4，∴BM=OBsin∠OBC =4。 ∴。 4.（2012天津市3分）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，以頂點(diǎn)A、B為圓心，1為半徑的兩弧交于點(diǎn)E，以頂點(diǎn)C、D為圓心，1為半徑的兩弧交于點(diǎn)F，則EF的長(zhǎng)為 ▲ ． 【答案】。 【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理。 【分析】連接AE，BE，DF，CF。 ∵以頂點(diǎn)A、B為圓心，1為半徑的兩弧交于點(diǎn)E，AB=1， ∴AB=AE=BE，∴△AEB是等邊三角形。 ∴邊AB上的高線為：。 同理：CD邊上的高線為：。 延長(zhǎng)EF交AB于N，并反向延長(zhǎng)EF交DC于M，則E、F、M，N共線。 ∵AE=BE，∴點(diǎn)E在AB的垂直平分線上。 同理：點(diǎn)F在DC的垂直平分線上。 ∵四邊形ABCD是正方形，∴AB∥DC?！郙N⊥AB，MN⊥DC。 由正方形的對(duì)稱性質(zhì)，知EM=FN。 ∴EF＋2EM=AD=1，EF＋EM=，解得EF=。 5.（2012天津市3分）“三等分任意角”是數(shù)學(xué)史上一個(gè)著名問題已知一個(gè)角∠MAN設(shè) （Ⅰ）當(dāng)∠MAN=690時(shí)，的大小為 ▲ （度）； （Ⅱ）如圖，將∠MAN放置在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1cm的網(wǎng)格中，角的一邊AM與水平方向的網(wǎng)格線平行，另一邊AN經(jīng)過格點(diǎn)B，且AB=2.5cm．現(xiàn)要求只能使用帶刻度的直尺，請(qǐng)你在圖中作出，并簡(jiǎn)要說明作法（不要求證明） ▲ ． 【答案】（Ⅰ）23。 （Ⅱ）如圖，讓直尺有刻度一邊過點(diǎn)A，設(shè)該邊與過點(diǎn)B的豎直方向的網(wǎng)格線交于點(diǎn)C，與過點(diǎn)B水平方向的網(wǎng)格線交于點(diǎn)D，保持直尺有刻度的一邊過點(diǎn)A，調(diào)整點(diǎn)C、D的位置，使CD=5cm，畫射線AD，此時(shí)∠MAD即為所求的∠α。 【考點(diǎn)】作圖（應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖），直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，平行的性質(zhì)。 【分析】（Ⅰ）根據(jù)題意，用69乘以，計(jì)算即可得解：69=23。 （Ⅱ）利用網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，作以點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)的直角三角形，并且使斜邊所在的直線過點(diǎn)A，且斜邊的長(zhǎng)度為5，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得斜邊上的中線等于AB的長(zhǎng)度，再結(jié)合三角形的外角性質(zhì)可知，∠BAD=2∠BDC，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠BDC=∠MAD，從而得到∠MAD=∠MAN。 6. （2012河北省3分）如圖，AB、CD相交于點(diǎn)O，AC⊥CD于點(diǎn)C，若∠BOD=38，則∠A= ▲ 。 【答案】520。 【考點(diǎn)】對(duì)頂角的性質(zhì)，直角三角形兩銳角的關(guān)系。 【分析】∵∠BOD與∠AOC是對(duì)頂角，∴∠AOC=，∠BOD=38。 又∵在Rt△ACO中，兩銳角互余，∴。 7. （2012河北省3分）用4個(gè)全等的正八邊形進(jìn)行拼接，使相等的兩個(gè)正八邊形有一條公共邊，圍成一圈后中間形成一個(gè)正方形，如圖1，用n個(gè)全等的正六邊形按這種方式進(jìn)行拼接，如圖2，若圍成一圈后中間形成一個(gè)正多邊形，則n的值為 ▲ 。 【答案】6。 【考點(diǎn)】正多邊形內(nèi)角和定理，周角定義。 【分析】∵正六邊形的每個(gè)內(nèi)角為， ∴圍成一圈后中間形成的正多邊形的一個(gè)內(nèi)角，它也是正六邊形。 ∴n=6。 8. （2012內(nèi)蒙古包頭3分）如圖，△ABC 內(nèi)接于⊙O，∠BAC=600，⊙O的半徑為2 ，則BC 的長(zhǎng)為 ▲ （保留根號(hào)）。 【答案】。 【考點(diǎn)】圓周角定理，垂徑定理，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值。 【分析】如圖，過點(diǎn)O作OD⊥BC于點(diǎn)D， ∵∠BAC和∠BOC是同弧所對(duì)的圓周角和圓心角，且∠BAC=600， ∴∠BOC=2∠BAC=1200。 又∵OD⊥BC，∴∠BOD=600，BD=DC。 又∵OB=2，∴BD=ODcos∠BOD=2?！郆C=2BD=。 9.（2012內(nèi)蒙古包頭3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A 在x上，△ABO是直角三角形，∠ABO=900，點(diǎn)B 的坐標(biāo)為（－1，2），將△ABO繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)900，得到△Al BlO，則過A1, B兩點(diǎn)的直線解析式為 ▲ 。 【答案】y=3x＋5。 【考點(diǎn)】勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)， 待定系數(shù)法，直線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系。 【分析】設(shè)A（a，0）， ∵點(diǎn)B 的坐標(biāo)為（－1，2），∴OA=－a，OB2=12＋22=5，AB2=（－1－a）2+22= a2+2 a+5。 ∵∠ABO=900，∴OA2= AB2＋OB2，即a2= a2+2 a+5+5，解得a=－5。即A（－5，0）。 ∵△ABO繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)900，得到△Al BlO，∴Al（0，5）。 設(shè)過A1 、B 兩點(diǎn)的直線解析式為y=kx＋b， 則，解得?！噙^A 、B 兩點(diǎn)的直線解析式為y=3x＋5。 10. （2012內(nèi)蒙古包頭3分）如圖，將△ABC 紙片的一角沿DE向下翻折，使點(diǎn)A 落在BC 邊上的A ′點(diǎn)處，且DE∥BC ，下列結(jié)論： ① ∠AED＝∠C； ② ； ③ BC= 2DE ； ④ 。 其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是 ▲ 個(gè)。 【答案】4。 【考點(diǎn)】折疊問題，折疊對(duì)稱的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形兩銳角的關(guān)系，三角形中位線定理，全等、相似三角形的判定和性質(zhì)。 【分析】①∵DE∥BC，∴根據(jù)兩直線平行，同位角相等，得∠AED＝∠C?！啖僬_。 ②∵根據(jù)折疊對(duì)稱的性質(zhì)，A ′D=AD，A ′E=AE。 ∵DE∥BC，∴根據(jù)兩直線分線段成比例定理，得?！唷！啖谡_。 ③連接A A ′， ∵根據(jù)折疊對(duì)稱的性質(zhì)，A ，A ′關(guān)于DE對(duì)稱。 ∴A A ′⊥DE。 ∵DE∥BC，∴A A ′⊥BC。 ∵A ′D=AD，∴∠DA A ′＝∠D A ′A。 ∴∠DB A ′＝∠D A ′B?！郆D= A′D?！郆D=AD。 ∴DE是△ABC的中位線?！郆C= 2DE?！啖壅_。 ④∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE。 ∵由③BC= 2DE，∴。 ∵根據(jù)折疊對(duì)稱的性質(zhì)，△ADE≌△A′DE?！?。 ∴，即?！啖苷_。 綜上所述，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是4個(gè)。 11. （2012內(nèi)蒙古赤峰3分）一個(gè)n邊形的內(nèi)角和為1080，則n= ▲ ． 【答案】8。 【考點(diǎn)】多邊形內(nèi)角和定理。 【分析】由（n﹣2）?180=1080，解得n=8。 12. （2012內(nèi)蒙古赤峰3分）如圖，在菱形ABCD中，BD為對(duì)角線，E、F分別是DC．DB的中點(diǎn)，若EF=6，則菱形ABCD的周長(zhǎng)是 ▲ ． 【答案】48。 【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)，三角形中位線定理。 【分析】∵AC是菱形ABCD的對(duì)角線，E、F分別是DC．DB的中點(diǎn)， ∴EF是△BCD的中位線，∴EF=BC=6。∴BC=12。 ∴菱形ABCD的周長(zhǎng)是412=48。 13. （2012內(nèi)蒙古呼和浩特3分）如圖，在△ABC中，∠B=47，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分線交于點(diǎn)E，則∠AEC=　 ▲ 　． 【答案】66.5。 【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)。 【分析】∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分線交于點(diǎn)E，∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF； 又∵∠B=47，∠B+∠BAC+∠BCA=180（三角形內(nèi)角和定理）， ∴∠DAC+ACF=（∠B+∠ACB）+（∠B+∠BAC） =（∠B+∠B+∠BAC+∠BCA）=。 ∴∠AEC=180﹣（∠DAC+ACF）=66.5?！? 14. （2012內(nèi)蒙古呼和浩特3分）如圖是某幾何體的三視圖及相關(guān)數(shù)據(jù)（單位：cm），則該幾何體的側(cè)面積為　 ▲ 　cm． 【答案】2π。 【考點(diǎn)】由三視圖判斷幾何體，圓錐的計(jì)算。 【分析】根據(jù)三視圖易得此幾何體為圓錐，由題意得底面直徑為2，母線長(zhǎng)為2， ∴幾何體的側(cè)面積為22π=2π?！? 15. （2012山西省3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的對(duì)角線AC平行于x軸，邊OA與x軸正半軸的夾角為30，OC=2，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是 ▲ ． 【答案】（2，2）。 【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)，平行的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，解直角三角形，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值。 【分析】過點(diǎn)B作DE⊥OE于E， ∵矩形OABC的對(duì)角線AC平行于x軸，邊OA與x軸正半軸的夾角為30， ∴∠CAO=30。 又∵OC=2，∴AC=4?！郞B=AC=4。 又∵∠OBC=∠CAO=30，DE⊥OE，∠CBA=90，∴∠OBE=30。 ∴OE=2，BE=OBcos∠OBE =2。 ∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（2，2）。 三、解答題 1. （2012北京市5分）已知：如圖，點(diǎn)E，A，C在同一條直線上，AB∥CD，AB=CE，AC=CD． 求證：BC=ED. 【答案】證明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ECD， ∵在△BAC和△ECD中，AB=EC，∠BAC=∠ECD ，AC=CD， ∴△BAC≌△ECD（SAS）?！郈B=ED。 【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)。 【分析】首先由AB∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠BAC=∠ECD，再由條件AB=CE，AC=CD可證出△BAC和△ECD全等，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等證出CB=ED。 2. （2012北京市5分）如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)E，∠BAC=900，∠CED=450，∠DCE=900，DE=，BE=2．求CD的長(zhǎng)和四邊形ABCD的面積． 【答案】解：過點(diǎn)D作DH⊥AC， ∵∠CED=45，DH⊥EC，DE=，∴EH=DH=1。 又∵∠DCE=30，∴DC=2，HC=。 ∵∠AEB=45，∠BAC=90，BE=2， ∴AB=AE=2。∴AC=2+1+ =3+。 ∴ 。 【考點(diǎn)】勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)， 【分析】利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出EH=DH=1，進(jìn)而得出再利用直角三角形中30所對(duì)邊等于斜邊的一半得出CD的長(zhǎng)，求出AC，AB的長(zhǎng)即可得出四邊形ABCD的面積。 3．（2012北京市5分）已知：如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，OD⊥BC于點(diǎn)D，過 點(diǎn)C作⊙O的切線，交OD 的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連結(jié)BE． （1）求證：BE與⊙O相切； （2）連結(jié)AD并延長(zhǎng)交BE于點(diǎn)F，若OB=9，，求BF的長(zhǎng)． 【答案】證明：（1）連接OC， ∵OD⊥BC，∴OC=OB，CD=BD（垂徑定理）。 ∴△CDO≌△BDO（HL）?！唷螩OD=∠BOD。 在△OCE和△OBE中， ∵OC=OB，∠COE=∠BOE，OE=OE， ∴△OCE≌△OBE（SAS）。∴∠OBE=∠OCE=90，即OB⊥BE?！郆E與⊙O相切。 （2）過點(diǎn)D作DH⊥AB， ∵OD⊥BC，∴△ODH∽△OBD，∴。 又∵ ，OB=9，∴OD=6。 ∴OH=4，HB=5，DH=2。 又∵△ADH∽△AFB，∴，即，解得FB=。 【考點(diǎn)】垂徑定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，切線的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義。 【分析】（1）連接OC，先證明△OCE≌△OBE，得出EB⊥OB，從而可證得結(jié)論。 （2）過點(diǎn)D作DH⊥AB，根據(jù) ，可求出OD=6，OH=4，HB=5，然后由△ADH∽△AFB，利用相似三角形的性質(zhì)得出比例式即可解出BF的長(zhǎng)。 4. （2012北京市7分）在中，，M是AC的中點(diǎn)，P是線段BM上的動(dòng)點(diǎn)， 將線段PA繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段PQ。 （1） 若且點(diǎn)P與點(diǎn)M重合（如圖1），線段CQ的延長(zhǎng)線交射線BM于點(diǎn)D，請(qǐng)補(bǔ)全圖形， 并寫出∠CDB的度數(shù)； （2） 在圖2中，點(diǎn)P不與點(diǎn)B，M重合，線段CQ的延長(zhǎng)線與射線BM交于點(diǎn)D，猜想∠CDB的大 ?。ㄓ煤拇鷶?shù)式表示），并加以證明； （3） 對(duì)于適當(dāng)大小的，當(dāng)點(diǎn)P在線段BM上運(yùn)動(dòng)到某一位置（不與點(diǎn)B，M重合）時(shí)，能使得 線段CQ的延長(zhǎng)線與射線BM交于點(diǎn)D，且PQ=QD，請(qǐng)直接寫出的范圍。 【答案】解：（1）補(bǔ)全圖形如下： ∠CDB=30。 （2）作線段CQ的延長(zhǎng)線交射線BM于點(diǎn)D，連接PC，AD， ∵AB=BC，M是AC的中點(diǎn)，∴BM⊥AC。 ∴AD=CD，AP=PC，PD=PD。 在△APD與△CPD中，∵AD=CD， PD=PD， PA=PC ∴△APD≌△CPD（SSS）。 ∴AP=PC，∠ADB=∠CDB，∠PAD=∠PCD。 又∵PQ=PA，∴PQ=PC，∠ADC=2∠CDB，∠PQC=∠PCD=∠PAD。 ∴∠PAD+∠PQD=∠PQC+∠PQD=180。 ∴∠APQ+∠ADC=360－（∠PAD+∠PQD）=180。 ∴∠ADC=180－∠APQ=180－2α，即2∠CDB=180－2α。 ∴∠CDB=90－α。 （3）45＜α＜60。 【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，。 【分析】（1）利用圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等邊三角形的判定得出△CMQ是等邊三角形，即可得出答案： ∵BA=BC，∠BAC=60，M是AC的中點(diǎn)，∴BM⊥AC，AM=AC。 ∵將線段PA繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2α得到線段PQ，∴AM=MQ，∠AMQ=120。 ∴CM=MQ，∠CMQ=60?！唷鰿MQ是等邊三角形。 ∴∠ACQ=60?！唷螩DB=30。 （2）首先由已知得出△APD≌△CPD，從而得出∠PAD+∠PQD=∠PQC+∠PQD=180，即可求出。 （3）由（2）得出∠CDB=90－α，且PQ=QD， ∴∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=180－2α。 ∵點(diǎn)P不與點(diǎn)B，M重合，∴∠BAD＞∠PAD＞∠MAD。 ∴2α＞180－2α＞α，∴45＜α＜60。 5. （2012天津市8分）已知⊙O中，AC為直徑，MA、MB分別切⊙O于點(diǎn)A、B． （Ⅰ）如圖①，若∠BAC=250，求∠AMB的大小； （Ⅱ）如圖②，過點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)D，若BD=MA，求∠AMB的大小． 【答案】解：（Ⅰ）∵M(jìn)A切⊙O于點(diǎn)A，∴∠MAC=90。 又∠BAC=25，∴∠MAB=∠MAC－∠BAC=65。 ∵M(jìn)A、MB分別切⊙O于點(diǎn)A、B，∴MA=MB。 ∴∠MAB=∠MBA。 ∴∠MAB=180－（∠MAB+∠MBA）=50。 （Ⅱ）如圖，連接AD、AB， ∵M(jìn)A⊥AC，又BD⊥AC， ∴BD∥MA。 又∵BD=MA，∴四邊形MADB是平行四邊形。 又∵M(jìn)A=MB，∴四邊形MADB是菱形?！郃D=BD。 又∵AC為直徑，AC⊥BD， ∴ AB = AD 。 ∴AB=AD=BD?！唷鰽BD是等邊三角形?！唷螪=60。 ∴在菱形MADB中，∠AMB=∠D=60。 6.（2012天津市8分）如圖，甲樓AB的高度為123m，自甲樓樓頂A處，測(cè)得乙樓頂端C處的仰角為450，測(cè)得乙樓底部D處的俯角為300，求乙樓CD的高度（結(jié)果精確到0.1m，取1.73）． 【答案】解：如圖，過點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E， 根據(jù)題意，∠CAE=45，∠DAE=30。 ∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴四邊形ABDE為矩形。 ∴DE=AB=123。 在Rt△ADE中，， ∴。 在Rt△ACE中，由∠CAE=45，得CE=AE=。 ∴CD=CE+DE=≈335.8。 答：乙樓CD的高度約為335.8m。 【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用（仰角俯角問題），銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，等腰直角三角形的性質(zhì)。 【分析】首先分析圖形，根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形．本題涉及多個(gè)直角三角形，應(yīng)利用其公共邊構(gòu)造關(guān)系式求解。 7. （2012天津市10分）已知一個(gè)矩形紙片OACB，將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（11，0），點(diǎn)B（0，6），點(diǎn)P為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合），經(jīng)過點(diǎn)O、P折疊該紙片，得點(diǎn)B′和折痕OP．設(shè)BP=t． （Ⅰ）如圖①，當(dāng)∠BOP=300時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)； （Ⅱ）如圖②，經(jīng)過點(diǎn)P再次折疊紙片，使點(diǎn)C落在直線PB′上，得點(diǎn)C′和折痕PQ，若AQ=m，試用含有t的式子表示m； （Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，當(dāng)點(diǎn)C′恰好落在邊OA上時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果即可）． 【答案】解：（Ⅰ）根據(jù)題意，∠OBP=90，OB=6。 在Rt△OBP中，由∠BOP=30，BP=t，得OP=2t。 ∵OP2=OB2+BP2，即（2t）2=62+t2，解得：t1=，t2=－（舍去）． ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ，6）。 （Ⅱ）∵△OB′P、△QC′P分別是由△OBP、△QCP折疊得到的， ∴△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP。 ∴∠OPB′=∠OPB，∠QPC′=∠QPC。 ∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC=180，∴∠OPB+∠QPC=90。 ∵∠BOP+∠OPB=90，∴∠BOP=∠CPQ。 又∵∠OBP=∠C=90，∴△OBP∽△PCQ?！唷? 由題意設(shè)BP=t，AQ=m，BC=11，AC=6，則PC=11－t，CQ=6－m． ∴?！啵?＜t＜11）。 （Ⅲ）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，6）或（，6）。 【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問題），坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)。 【分析】（Ⅰ）根據(jù)題意得，∠OBP=90，OB=6，在Rt△OBP中，由∠BOP=30，BP=t，得OP=2t，然后利用勾股定理，即可得方程，解此方程即可求得答案。 （Ⅱ）由△OB′P、△QC′P分別是由△OBP、△QCP折疊得到的，可知△OB′P≌△OBP， △QC′P≌△QCP，易證得△OBP∽△PCQ，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得答案。 （Ⅲ）首先過點(diǎn)P作PE⊥OA于E，易證得△PC′E∽△C′QA，由勾股定理可求得C′Q的長(zhǎng)，然后利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例與，即可求得t的值： 過點(diǎn)P作PE⊥OA于E，∴∠PEA=∠QAC′=90。 ∴∠PC′E+∠EPC′=90。 ∵∠PC′E+∠QC′A=90，∴∠EPC′=∠QC′A。 ∴△PC′E∽△C′QA。∴。 ∵PC′=PC=11－t，PE=OB=6，AQ=m，C′Q=CQ=6－m， ∴。 ∴。 ∵，即，∴，即。 將代入，并化簡(jiǎn)，得。解得：。 ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，6）或（，6）。 8. （2012河北省9分）如圖，點(diǎn)E是線段BC的中點(diǎn)，分別BC以為直角頂點(diǎn)的△EAB和△EDC均是等腰三角形，且在BC同側(cè)． （1）AE和ED的數(shù)量關(guān)系為 ；AE和ED的位置關(guān)系為 ； （2）在圖1中，以點(diǎn)E為位似中心，作△EGF與△EAB位似，點(diǎn)H是BC所在直線上的一點(diǎn)，連接GH，HD．分別得到圖2和圖3． ①在圖2中，點(diǎn)F在BE上，△EGF與△EAB的相似比1：2，H是EC的中點(diǎn)．求證：GH=HD，GH⊥HD． ②在圖3中，點(diǎn)F在的BE延長(zhǎng)線上，△EGF與△EAB的相似比是k：1，若BC=2，請(qǐng)直接寫CH的長(zhǎng)為多少時(shí)，恰好使GH=HD且GH⊥HD（用含k的代數(shù)式表示）． 【答案】解：（1）AE=ED；AE⊥ED。 （2）①由題意，∠B=∠C=90，AB=BE=EC=DC， ∵△EGF與△EAB的相似比1：2，∴∠GFE=∠B=90，GF=AB，EF=EB。 ∴∠GFE=∠C。∴EH=HC=EC。∴GF=HC，F(xiàn)H=FE+EH=EB+EC=BC=EC=CD。 ∴△HGF≌△DHC（SAS）∴GH=HD，∠GHF=∠HDC。 ∵∠HDC+∠DHC=90，∴∠GHF+∠DHC=90。∴∠GHD=90?！郍H⊥HD。 （3）k． 【考點(diǎn)】位似變換，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)。 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出△ABE≌△DCE，進(jìn)而得出AE=ED，AE⊥ED： ∵點(diǎn)E是線段BC的中點(diǎn)，分別BC以為直角頂點(diǎn)的△EAB和△EDC均是等腰三角形， ∴BE=EC=DC=AB，∠B=∠C=90，∴△ABE≌△DCE（SAS）。 ∴AE=DE，∠AEB=∠DEC=45?！唷螦ED=90?！郃E⊥ED。 （2）①根據(jù)△EGF與△EAB的相似比1：2，得出EH=HC=EC，從而得出△HGF≌△DHC，即可求出GH=HD，GH⊥HD。 ②根據(jù)恰好使GH=HD且GH⊥HD時(shí)，得出△GFH≌△HCD，從而得出CH的長(zhǎng)： 根據(jù)題意得出：∵當(dāng)GH=HD，GH⊥HD時(shí)，∴∠FHG+∠DHC=90。 ∵∠FHG+∠FGH=90，∴∠FGH=∠DHC。 ∵DH=GH，∠FGH=∠DHC，∠DCH=∠GFH，∴△GFH≌△HCD（AAS）?！郈H=FG。 ∵EF=FG，∴EF=CH。 ∵△EGF與△EAB的相似比是k：1，BC=2，∴BE=EC=1?！郋F=k?！郈H的長(zhǎng)為k。 9. （2012河北省10分）如圖，A（－5，0），B（-3，0），點(diǎn)C在y軸的正半軸上，∠CBO=45， CD∥AB．∠CDA=90．點(diǎn)P從點(diǎn)Q（4，0）出發(fā)，沿x軸向左以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)時(shí)間t秒． （1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)； （2）當(dāng)∠BCP=15時(shí)，求t的值； （3）以點(diǎn)P為圓心，PC為半徑的⊙P隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而變化，當(dāng)⊙P與四邊形ABCD的邊（或邊所在的直線）相切時(shí)，求t的值． 【答案】解：（1）∵∠BCO=∠CBO=45，∴OC=OB=3。 又∵點(diǎn)C在y軸的正半軸上，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3）。 （2）分兩種情況考慮： ①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，如圖2， 若∠BCP=15，得∠PCO=30，故PO=CO?tan30=。此時(shí)t=4+ ②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，如圖3， 由∠BCP=15，得∠PCO=60，故OP=COtan60=3。此時(shí)，t=4+3 ∴t的值為4+或4+3 （3）由題意知，若⊙P與四邊形ABCD的邊相切時(shí)，有以下三種情況： ①當(dāng)⊙P與BC相切于點(diǎn)C時(shí)，有 ∠BCP=90，從而∠OCP=45，得到OP=3，此時(shí)t=1。 ②當(dāng)⊙P與CD相切于點(diǎn)C時(shí)，有 PC⊥CD，即點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，此時(shí)t=4。 ③當(dāng)⊙P與AD相切時(shí)，由題意，得 ∠DAO=90，∴點(diǎn)A為切點(diǎn)，如圖4，PC2=PA2=（9－t）2，PO2=（t－4）2。 于是（9－t）2= PO2=（t－4）2，即81－18t＋t2=t2－8t＋16＋9，解得，t=5.6。 綜上所述，t的值為1或4或5.6。 【考點(diǎn)】動(dòng)點(diǎn)問題，切線的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值。 【分析】（1）由∠CBO=45，∠BOC為直角，得到△BOC為等腰直角三角形，又OB=3，利用等腰直角三角形AOB的性質(zhì)知OC=OB=3，然后由點(diǎn)C在y軸的正半軸可以確定點(diǎn)C的坐標(biāo)。 （2）分點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)和點(diǎn)P在點(diǎn)B左側(cè)兩種情況討論即可。 （3）當(dāng)⊙P與四邊形ABCD的邊（或邊所在的直線）相切時(shí)，分三種情況討論：①當(dāng)⊙P與BC邊相切時(shí)，②當(dāng)⊙P與CD相切于點(diǎn)C時(shí)，③當(dāng)⊙P與CD相切時(shí)。 10. （2012內(nèi)蒙古包頭8分）如圖，攔水壩的橫斷面為梯形ABCD ，壩頂寬AD = 5 米，斜坡AB 的 坡度i =1：3 （指坡面的鉛直高度AE 與水平寬度BE 的比），斜坡DC 的坡度i=1：1 . 5 ，已知該攔水壩的高為6 米。 （1）求斜坡AB 的長(zhǎng)； （2）求攔水壩的橫斷面梯形ABCD 的周長(zhǎng)。 （注意：本題中的計(jì)算過程和結(jié)果均保留根號(hào)） 【答案】解：（1）∵，AE=6，∴BE=3AD=18。 在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理得，。 答：斜坡AB 的長(zhǎng)為米。 （2）過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F， ∴四邊形AEFD是矩形。 ∴EF=AD。 ∵AD=5，∴EF=5。 又∵， DF=AE=6，∴CF=DF=9。 ∴BC=BE＋EF＋CF=18＋5＋9=32。 在Rt△DCF中，根據(jù)勾股定理得，。 ∴梯形ABCD 的周長(zhǎng)為AB＋BC＋CD＋DA=。 答：攔水壩的橫斷面梯形ABCD 的周長(zhǎng)為米。 【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用（坡度坡角問題），梯形的性質(zhì)，坡度的定義，勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)。 【分析】（1）根據(jù)坡度的定義得出BE的長(zhǎng)，從而利用勾股定理得出AB的長(zhǎng)。 （2）利用矩形性質(zhì)以及坡度定義分別求出CD，CF，EF的長(zhǎng)，從而求出梯形ABCD的周長(zhǎng)即可。 11. （2012內(nèi)蒙古包頭10分）如圖，已知AB為⊙O的直徑，過⊙O上的點(diǎn)C的切線交AB 的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E , AD⊥EC 于點(diǎn)D 且交⊙O于點(diǎn)F ，連接BC , CF , AC 。 （1）求證：BC=CF； （2）若AD=6 , DE=8 ，求BE 的長(zhǎng)； （3）求證：AF + 2DF = AB。 【答案】解：（1）證明：如圖，連接OC， ∵ED切⊙O于點(diǎn)C，∴CO⊥ED。 ∵AD⊥EC，∴CO∥AD?！唷螼CA=∠OCA。 ∴∠OAC=∠CAD?！??！郆C=CF。 （2）在Rt△ADE中，∵AD=6，DE=8， 根據(jù)勾股定理得AE=10。 ∵CO∥AD，∴△EOC∽△EAD。∴。 設(shè)⊙O的半徑為r，∴OE=10＋r，∴?！鄏=。 ∴BE=10－2r=。 （3）證明：過C作CG⊥AB于G， ∵∠OAC=∠CAD，AD⊥EC，∴CG=CD。 在Rt△AGC和Rt△ADC中， ∵CG=CD，AC=AC，∴Rt△AGC≌Rt△ADC（HL）。 ∴AG=AD。 在Rt△CGB和Rt△CDF中， ∵BC=FC ，CG=CD，∴Rt△CGB≌Rt△CDF（HL）?！郍B=DF。 ∵AG+GB=AB，∴AD+DF=AB。∴AF+2DF=AB。 【考點(diǎn)】圓的綜合題，切線的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，圓周角定理，全等、相似三角形的判定和性質(zhì)， 【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)首先得出CO⊥ED，再利用平行線的判定得出CO∥AD，從而利用圓周角定理得出BC=CF。 （2）首先求出△EOC∽△EAD，進(jìn)而得出r的長(zhǎng)，即可求出BE的長(zhǎng)。 （3）利用全等三角形的判定得出Rt△AGC≌Rt△ADC，進(jìn)而得出Rt△CGB≌Rt△CDF，即可求出AD+DF=AB得出答案即可。 12.（2012內(nèi)蒙古包頭12分）如圖，在Rt△ABC中，∠C =900，AC = 4cm , BC = 5 cm，點(diǎn)D 在BC 上，且CD = 3 cm ，現(xiàn)有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，Q 分別從點(diǎn)A 和點(diǎn)B 同時(shí)出發(fā)，其中點(diǎn)P以1 厘米／秒的速度沿AC 向終點(diǎn)C 運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q 以1 . 25 厘米／秒的速度沿BC 向終點(diǎn)C 運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)P作PE∥ BC 交AD 于點(diǎn)E ，連接EQ。設(shè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t > 0 )。 （1）連接DP ，經(jīng)過1 秒后，四邊形EQDP能夠成為平行四邊形嗎？請(qǐng)說明理由； （2）連接PQ ，在運(yùn)動(dòng)過程中，不論t 取何值時(shí)，總有線段PQ與線段AB平行。為什么？ （3）當(dāng)t 為何值時(shí)，△EDQ為直角三角形。 【答案】解：（1）不能。理由如下： 假設(shè)經(jīng)過t秒時(shí)四邊形EQDP能夠成為平行四邊形。