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河北保定易縣中學(xué)2017屆高三上學(xué)期周考數(shù)學(xué)（理）試卷（二） 一、選擇題：（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，把正確答案填在答題卡相應(yīng)位置．） 1．設(shè)集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，則A∩B=（　?。? A．{1，3} B．{3，5} C．{5，7} D．{1，7} 2．復(fù)數(shù)i（3﹣i）的共軛復(fù)數(shù)是（　?。? A．1+3i B．1﹣3i C．﹣1+3i D．﹣1﹣3i 3．已知向量=（1，2），=（a，﹣1），若⊥，則實數(shù)a的值為（　?。? A．﹣2 B．﹣ C． D．2 4．設(shè)l，m是兩條不同的直線，α是一個平面，則下列命題正確的是（　　） A．若l⊥m，m?α，則l⊥α B．若l⊥α，l∥m，則m⊥α C．若l∥α，m?α，則l∥m D．若l∥α，m∥α，則l∥m 5．下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（　?。? A．y= B．y=x2 C．y=x3 D．y=sinx 6．要得到函數(shù)y=sin2x的圖象，只需將函數(shù)y=sin（2x﹣）的圖象（　　） A．向右平移個單位長度 B．向左平移個單位長度 C．向右平移個單位長度 D．向左平移個單位長度 7．不等式組，所表示的平面區(qū)域的面積等于（　?。? A． B． C． D． 8．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出s的值等于（　?。? A．1 B． C．0 D．﹣ 9．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（　?。? A．96 B． C． D． 10．《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等．問各得幾何．”其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢，甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列．問五人各得多少錢？”（“錢”是古代的一種重量單位）．這個問題中，甲所得為（　?。? A．錢 B．錢 C．錢 D．錢 11．設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓C1： +=1（a＞b＞0）與雙曲線C2：﹣=1（a1＞0，b1＞0）的公共焦點，它們在第一象限內(nèi)交于點M，∠F1MF2=90，若橢圓的離心率e=，則雙曲線C2的離心率e1為（　?。? A． B． C． D． 12．若a＞0，b＞0，且函數(shù)f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx﹣2在x=1處有極值，則ab的最大值（　?。? A．2 B．3 C．6 D．9 　 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在答題卡相應(yīng)題中的橫線上． 13．已知等比數(shù)列{an}的公比q為正數(shù)，且a3a9=2a52，則q=　?。? 14．已知函數(shù)f（x）=lnx﹣ax2，且函數(shù)f（x）在點（2，f（2））處的切線的斜率是，則a=　?。? 15．在平面直角坐標系xOy中，點F為拋物線x2=8y的焦點，則點F到雙曲線x2﹣=1的漸近線的距離為　?。? 16．下列四個命題： ①一個命題的逆命題為真，則它的否命題一定為真； ②等差數(shù)列{an}中，a1=2，a1，a3，a4成等比數(shù)列，則公差為﹣； ③已知a＞0，b＞0，a+b=1，則+的最小值為5+2； ④在△ABC中，若sin2A＜sin2B+sin2C，則△ABC為銳角三角形． 其中正確命題的序號是　?。ò涯阏J為正確命題的序號都填上） 　 三.解答題（共6題，共70分） 17．設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知ban﹣2n=（b﹣1）Sn （Ⅰ）證明：當b=2時，{an﹣n?2n﹣1}是等比數(shù)列； （Ⅱ）求{an}的通項公式． 18．如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分別是棱BC，CC1上的點（點D 不同于點C），且AD⊥DE，F(xiàn)為B1C1的中點．求證： （1）平面ADE⊥平面BCC1B1； （2）直線A1F∥平面ADE． 19．某學(xué)校高三年級800名學(xué)生在一次百米測試中，成績?nèi)吭?2秒到17秒之間，抽取其中50個樣本，將測試結(jié)果按如下方式分成五組：第一組[12，13），第二組[13，14），…，第五組[16，17]，如圖是根據(jù)上述分組得到的頻率分布直方圖． （1）若成績小于13秒被認為優(yōu)秀，求該樣本在這次百米測試中成績優(yōu)秀的人數(shù)； （2）請估計本年級800名學(xué)生中，成績屬于第三組的人數(shù)； （3）若樣本中第一組只有一名女生，第五組只有一名男生，現(xiàn)從第一、第五組中各抽取1名學(xué)生組成一個實驗組，求所抽取的2名同學(xué)中恰好為一名男生和一名女生的概率． 20．如圖，已知橢圓+y2=1的四個頂點分別為A1，A2，B1，B2，左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，若圓C：（x﹣3）2+（y﹣3）2=r2（0＜r＜3）上有且只有一個點P滿足=． （1）求圓C的半徑r； （2）若點Q為圓C上的一個動點，直線QB1交橢圓于點D，交直線A2B2于點E，求的最大值． 21．已知函數(shù)f（x）=﹣，（x∈R），其中m＞0 （Ⅰ）當m=2時，求曲線y=f（x）在點（3，f（3））處的切線的方程； （Ⅱ）若f（x）在（）上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求m的取值范圍 （Ⅲ）已知函數(shù)f（x）有三個互不相同的零點0，x1，x2且x1＜x2，若對任意的x∈[x1，x2]，f（x）＞f（1）恒成立．求m的取值范圍． 　 [選做題]請考生從22、23題中任選一題作答，共10分[選修4-4.坐標系與參數(shù)方程] 22．在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為，以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，圓C 的極坐標方程為． （1）寫出直線l的普通方程及圓C 的直角坐標方程； （2）點P是直線l上的，求點P 的坐標，使P 到圓心C 的距離最?。? 　 [選修4-5.不等式選講] 23．已知定義在R上的函數(shù)f（x）=|x﹣m|+|x|，m∈N*，存在實數(shù)x使f（x）＜2成立． （Ⅰ）求實數(shù)m的值； （Ⅱ）若α，β＞1，f（α）+f（β）=2，求證： +≥．　  參考答案 　 一、選擇題：（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，把正確答案填在答題卡相應(yīng)位置．） 1．設(shè)集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，則A∩B=（　?。? A．{1，3} B．{3，5} C．{5，7} D．{1，7} 【考點】交集及其運算． 【分析】直接利用交集的運算法則化簡求解即可． 【解答】解：集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}， 則A∩B={3，5}． 故選：B． 　 2．復(fù)數(shù)i（3﹣i）的共軛復(fù)數(shù)是（　?。? A．1+3i B．1﹣3i C．﹣1+3i D．﹣1﹣3i 【考點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算． 【分析】直接由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算化簡，則答案可求． 【解答】解：∵i（3﹣i）=3i﹣i2=1+3i， ∴復(fù)數(shù)i（3﹣i）的共軛復(fù)數(shù)是1﹣3i． 故選：B． 　 3．已知向量=（1，2），=（a，﹣1），若⊥，則實數(shù)a的值為（　?。? A．﹣2 B．﹣ C． D．2【考點】數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系． 【分析】直接利用向量垂直數(shù)量積為0列式求得a值． 【解答】解：∵=（1，2），=（a，﹣1）， ∴由⊥，得1a+2（﹣1）=0， 即a=2． 故選：D． 　 　 4．設(shè)l，m是兩條不同的直線，α是一個平面，則下列命題正確的是（　　） A．若l⊥m，m?α，則l⊥α B．若l⊥α，l∥m，則m⊥α C．若l∥α，m?α，則l∥m D．若l∥α，m∥α，則l∥m 【考點】直線與平面平行的判定． 【分析】根據(jù)題意，依次分析選項：A，根據(jù)線面垂直的判定定理判斷．C：根據(jù)線面平行的判定定理判斷．D：由線線的位置關(guān)系判斷．B：由線面垂直的性質(zhì)定理判斷；綜合可得答案． 【解答】解：A，根據(jù)線面垂直的判定定理，要垂直平面內(nèi)兩條相交直線才行，不正確； C：l∥α，m?α，則l∥m或兩線異面，故不正確． D：平行于同一平面的兩直線可能平行，異面，相交，不正確． B：由線面垂直的性質(zhì)可知：平行線中的一條垂直于這個平面則另一條也垂直這個平面．故正確． 故選B 　 5．下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（　?。? A．y= B．y=x2 C．y=x3 D．y=sinx 【考點】函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；函數(shù)奇偶性的判斷． 【分析】分選項進行一一判斷 A：y=在（﹣∞，0）和（0，+∞）上單調(diào)遞減，故A錯誤；B：y=x2不是奇函數(shù)，故B錯誤；C：y=x3滿足題意，故C正確；D：y=sinx不滿足是增函數(shù)的要求，故不符合題意，故D錯誤，即可得出結(jié)論． 【解答】解：A：y=在（﹣∞，0）和（0，+∞）上單調(diào)遞減，故A錯誤； B：y=x2是偶函數(shù)，不是奇函數(shù)，故B錯誤； C：y=x3滿足奇函數(shù)，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)y=x3在R 上單調(diào)遞增，故C正確； D：y=sinx是奇函數(shù)，但周期是2π，不滿足是增函數(shù)的要求，故不符合題意，故D錯誤， 故選：C． 　 6．要得到函數(shù)y=sin2x的圖象，只需將函數(shù)y=sin（2x﹣）的圖象（　　） A．向右平移個單位長度 B．向左平移個單位長度C．向右平移個單位長度 D．向左平移個單位長度 【考點】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換． 【分析】把函數(shù)y=sin2x的圖象向右平移個單位即可得到函數(shù) y=sin2（x﹣）=sin（2x﹣） 的圖象，把平移過程逆過來可得結(jié)論． 【解答】解：把函數(shù)y=sin2x的圖象向右平移個單位即可得到函數(shù) y=sin2（x﹣）=sin（2x﹣） 的圖象， 故要得到函數(shù)y=sin2x的函數(shù)圖象，可將函數(shù)y=sin（2x﹣）的圖象向左至少平移個單位即可， 故選：B． 　 7．不等式組，所表示的平面區(qū)域的面積等于（　　） A． B． C． D． 【考點】簡單線性規(guī)劃． 【分析】由約束條件作出可行域，把可行域的面積化為兩個三角形的面積求解． 【解答】解：由約束條件作出可行域如圖， ∴S四邊形OBAC=S△OBA+S△OCA =． 故選：C． 　 8．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出s的值等于（　　） A．1 B． C．0 D．﹣ 【考點】程序框圖． 【分析】模擬執(zhí)行如圖所示的程序框圖，得出該程序輸出的是計算S的值，分析最后一次循環(huán)過程，即可得出結(jié)論． 【解答】解：執(zhí)行如圖所示的程序框圖，得： 該程序輸出的是計算S的值； 當k=0時，滿足條件，計算S=cos+cos+cos+cos+cos+cos+cos0=1， 當k=﹣1時，不滿足條件，輸出S=1． 故選：A． 　 9．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（　?。? A．96 B． C． D． 【考點】由三視圖求面積、體積． 【分析】幾何體為邊長為4的正方體挖去一個圓錐得到的． 【解答】解：由三視圖可知幾何體為邊長為4的正方體挖去一個圓錐得到的，圓錐的底面半徑為2，高為2，∴圓錐的母線長為2． ∴幾何體的平面部分面積為642﹣π22=96﹣4π． 圓錐的側(cè)面積為=4． ∴幾何體的表面積為96﹣4π+4． 故選：C． 　 10．《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等．問各得幾何．”其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢，甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列．問五人各得多少錢？”（“錢”是古代的一種重量單位）．這個問題中，甲所得為（　　） A．錢 B．錢 C．錢 D．錢 【考點】等差數(shù)列的通項公式． 【分析】依題意設(shè)甲、乙、丙、丁、戊所得錢分別為a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，由題意求得a=﹣6d，結(jié)合a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d=5a=5求得a=1，則答案可求． 【解答】解：依題意設(shè)甲、乙、丙、丁、戊所得錢分別為a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d， 則由題意可知，a﹣2d+a﹣d=a+a+d+a+2d，即a=﹣6d， 又a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d=5a=5，∴a=1， 則a﹣2d=a﹣2=． 故選：B． 　 11．設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓C1： +=1（a＞b＞0）與雙曲線C2：﹣=1（a1＞0，b1＞0）的公共焦點，它們在第一象限內(nèi)交于點M，∠F1MF2=90，若橢圓的離心率e=，則雙曲線C2的離心率e1為（　?。? A． B． C． D． 【考點】橢圓的簡單性質(zhì)；雙曲線的簡單性質(zhì)． 【分析】利用橢圓與雙曲線的定義列出方程，通過勾股定理求解離心率即可． 【解答】解：由橢圓與雙曲線的定義，知|MF1|+|MF2|=2a，|MF1|﹣|MF2|=2a， 所以|MF1|=a+a1，|MF2|=a﹣a1． 因為∠F1MF2=90， 所以，即，即， 因為， 所以． 故選：B． 　 12．若a＞0，b＞0，且函數(shù)f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx﹣2在x=1處有極值，則ab的最大值（　　） A．2 B．3 C．6 D．9 【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值． 【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由極值的概念得到f′（1）=0，即有a+b=6，再由基本不等式即可得到最大值． 【解答】解：函數(shù)f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx﹣2的導(dǎo)數(shù)f′（x）=12x2﹣2ax﹣2b， 由于函數(shù)f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx﹣2在x=1處有極值， 則有f′（1）=0，即有a+b=6，（a，b＞0）， 由于a+b≥2，即有ab≤（）2=9，當且僅當a=b=3取最大值9． 故選D． 　 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在答題卡相應(yīng)題中的橫線上． 13．已知等比數(shù)列{an}的公比q為正數(shù)，且a3a9=2a52，則q=　?。? 【考點】等比數(shù)列的通項公式． 【分析】設(shè)出等比數(shù)列的首項，由等比數(shù)列的通項公式寫出a3，a9，a5，代入后可直接求得q的值． 【解答】解：設(shè)等比數(shù)列的首項為a1， 由，得：， 即， ∵a1≠0，q＞0，∴q=． 故答案為． 　 14．已知函數(shù)f（x）=lnx﹣ax2，且函數(shù)f（x）在點（2，f（2））處的切線的斜率是，則a=　　． 【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程． 【分析】求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立方程關(guān)系進行求解即可． 【解答】解：∵f（x）在點（2，f（2））處的切線的斜率是， ∴，又， ∴，得． 故答案為： 　 15．在平面直角坐標系xOy中，點F為拋物線x2=8y的焦點，則點F到雙曲線x2﹣=1的漸近線的距離為　?。? 【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)． 【分析】求得拋物線的焦點和雙曲線的漸近線方程，再由點到直線的距離公式計算即可得到所求值． 【解答】解：拋物線x2=8y的焦點F（0，2）， 雙曲線的漸近線方程為y=3x， 則F到雙曲線的漸近線的距離為 d==． 故答案為：． 　 16．下列四個命題： ①一個命題的逆命題為真，則它的否命題一定為真； ②等差數(shù)列{an}中，a1=2，a1，a3，a4成等比數(shù)列，則公差為﹣； ③已知a＞0，b＞0，a+b=1，則+的最小值為5+2； ④在△ABC中，若sin2A＜sin2B+sin2C，則△ABC為銳角三角形． 其中正確命題的序號是　①③　．（把你認為正確命題的序號都填上） 【考點】命題的真假判斷與應(yīng)用． 【分析】①利用命題的邏輯關(guān)系可判斷； ②根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)判斷 ③根據(jù)條件，進行變形即可； ④根據(jù)正弦定理得出邊的關(guān)系，進行判斷． 【解答】解：①一個命題的逆命題與其否命題為等價命題，故正確； ②等差數(shù)列{an}中，a1=2，a1，a3，a4成等比數(shù)列，則公差為﹣或零，故錯誤； ③已知a＞0，b＞0，a+b=1，則+=+=5++≥5+2，故正確； ④在△ABC中，若sin2A＜sin2B+sin2C，可推出a2＜b2+c2，A為銳角，但不能得出是銳角三角形，故錯誤． 故答案為①③． 　 三.解答題（共6題，共70分） 17．設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知ban﹣2n=（b﹣1）Sn （Ⅰ）證明：當b=2時，{an﹣n?2n﹣1}是等比數(shù)列； （Ⅱ）求{an}的通項公式． 【考點】數(shù)列的應(yīng)用． 【分析】（Ⅰ）當b=2時，由題設(shè)條件知an+1=2an+2n．由此可知an+1﹣（n+1）?2n=2an+2n﹣（n+1）?2n=2（an﹣n?2n﹣1），所以{an﹣n?2n﹣1}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列． （Ⅱ）當b=2時，由題設(shè)條件知an=（n+1）2n﹣1；當b≠2時，由題意得=，由此能夠?qū)С鰗an}的通項公式． 【解答】解：（Ⅰ）當b=2時，由題意知2a1﹣2=a1，解得a1=2， 且ban﹣2n=（b﹣1）Sn ban+1﹣2n+1=（b﹣1）Sn+1 兩式相減得b（an+1﹣an）﹣2n=（b﹣1）an+1 即an+1=ban+2n① 當b=2時，由①知an+1=2an+2n 于是an+1﹣（n+1）?2n=2an+2n﹣（n+1）?2n=2（an﹣n?2n﹣1） 又a1﹣1?20=1≠0，所以{an﹣n?2n﹣1}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列． （Ⅱ）當b=2時，由（Ⅰ）知an﹣n?2n﹣1=2n﹣1， 即an=（n+1）2n﹣1 當b≠2時，由①得 == 因此= 即 所以． 　 18．如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分別是棱BC，CC1上的點（點D 不同于點C），且AD⊥DE，F(xiàn)為B1C1的中點．求證： （1）平面ADE⊥平面BCC1B1； （2）直線A1F∥平面ADE． 【考點】平面與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定． 【分析】（1）根據(jù)三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，得到CC1⊥平面ABC，從而AD⊥CC1，結(jié)合已知條件AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1內(nèi)的相交直線，得到AD⊥平面BCC1B1，從而平面ADE⊥平面BCC1B1； （2）先證出等腰三角形△A1B1C1中，A1F⊥B1C1，再用類似（1）的方法，證出A1F⊥平面BCC1B1，結(jié)合AD⊥平面BCC1B1，得到A1F∥AD，最后根據(jù)線面平行的判定定理，得到直線A1F∥平面ADE． 【解答】解：（1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱， ∴CC1⊥平面ABC， ∵AD?平面ABC， ∴AD⊥CC1 又∵AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1內(nèi)的相交直線 ∴AD⊥平面BCC1B1， ∵AD?平面ADE ∴平面ADE⊥平面BCC1B1； （2）∵△A1B1C1中，A1B1=A1C1，F(xiàn)為B1C1的中點 ∴A1F⊥B1C1， ∵CC1⊥平面A1B1C1，A1F?平面A1B1C1，∴A1F⊥CC1 又∵B1C1、CC1是平面BCC1B1內(nèi)的相交直線 ∴A1F⊥平面BCC1B1 又∵AD⊥平面BCC1B1， ∴A1F∥AD ∵A1F?平面ADE，AD?平面ADE， ∴直線A1F∥平面ADE． 　 19．某學(xué)校高三年級800名學(xué)生在一次百米測試中，成績?nèi)吭?2秒到17秒之間，抽取其中50個樣本，將測試結(jié)果按如下方式分成五組：第一組[12，13），第二組[13，14），…，第五組[16，17]，如圖是根據(jù)上述分組得到的頻率分布直方圖． （1）若成績小于13秒被認為優(yōu)秀，求該樣本在這次百米測試中成績優(yōu)秀的人數(shù)； （2）請估計本年級800名學(xué)生中，成績屬于第三組的人數(shù)； （3）若樣本中第一組只有一名女生，第五組只有一名男生，現(xiàn)從第一、第五組中各抽取1名學(xué)生組成一個實驗組，求所抽取的2名同學(xué)中恰好為一名男生和一名女生的概率． 【考點】列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；頻率分布直方圖． 【分析】（1）由頻率分布直方圖，得成績小于13秒的頻率為0.06，由此能求出該樣本在這次百米測試中成績優(yōu)秀的人數(shù)． （2）由頻率分布直方圖，得第三組[14，15）的頻率為0.38，由此能估計本年級800名學(xué)生中，成績屬于第三組的人數(shù)． （2）由頻率分布直方圖及題設(shè)條件得到第一組中有1名女生2名男生，第五組中有3名女生1名男生，由此能求出所抽取的2名同學(xué)中恰好為一名男生和一名女生的概率．【解答】解：（1）由頻率分布直方圖，得成績小于13秒的頻率為0.06， ∴該樣本在這次百米測試中成績優(yōu)秀的人數(shù)為： 0.0650=3（人）． （2）由頻率分布直方圖，得第三組[14，15）的頻率為0.38， ∴估計本年級800名學(xué)生中，成績屬于第三組的人數(shù)為： 8000.38=304（人）． （2）由頻率分布直方圖，得第一組的頻率為0.06，第五組的頻率為0.08， ∴第一組有500.06=3人，第五組有500.08=4人， ∵樣本中第一組只有一名女生，第五組只有一名男生， ∴第一組中有1名女生2名男生，第五組中有3名女生1名男生， 現(xiàn)從第一、第五組中各抽取1名學(xué)生組成一個實驗組， 基本事件總數(shù)n==12， 所抽取的2名同學(xué)中恰好為一名男生和一名女生，包含的基本事件個數(shù)m==7， ∴所求概率為p=． 　 20．如圖，已知橢圓+y2=1的四個頂點分別為A1，A2，B1，B2，左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，若圓C：（x﹣3）2+（y﹣3）2=r2（0＜r＜3）上有且只有一個點P滿足=． （1）求圓C的半徑r； （2）若點Q為圓C上的一個動點，直線QB1交橢圓于點D，交直線A2B2于點E，求的最大值． 【考點】橢圓的簡單性質(zhì)． 【分析】（1）由橢圓+y2=1可得F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0），設(shè)P（x，y），由=，可得=，化為=．又（x﹣3）2+（y﹣3）2=r2（0＜r＜3），根據(jù)圓C上有且只有一個點P滿足=，可得上述兩個圓外切，即可得出． （2）直線A2B2方程為：，化為=．設(shè)直線B1Q：y=kx﹣1，由圓心（3，3）到直線的距離≤，可得k∈．聯(lián)立，解得E．聯(lián)立，解得D．利用兩點之間的距離可得===|1+|，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出． 【解答】解：（1）由橢圓+y2=1可得F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0）， 設(shè)P（x，y），∵=，∴=，化為：x2﹣3x+y2+1=0，即=． 又（x﹣3）2+（y﹣3）2=r2（0＜r＜3）， ∵圓C上有且只有一個點P滿足=． ∴上述兩個圓外切， ∴=r+，解得r=． （2）直線A2B2方程為：，化為=． 設(shè)直線B1Q：y=kx﹣1， 由圓心（3，3）到直線的距離≤，可得k∈． 聯(lián)立，解得E． 聯(lián)立，化為：（1+2k2）x2﹣4kx=0，解得D． ∴|DB1|==． |EB1|==， ∴===|1+|， 令f（k）=，f′（k）=≤0， 因此函數(shù)f（k）在k∈上單調(diào)遞減． ∴k=時， =|1+|=取得最大值． 　 21．已知函數(shù)f（x）=﹣，（x∈R），其中m＞0 （Ⅰ）當m=2時，求曲線y=f（x）在點（3，f（3））處的切線的方程； （Ⅱ）若f（x）在（）上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求m的取值范圍 （Ⅲ）已知函數(shù)f（x）有三個互不相同的零點0，x1，x2且x1＜x2，若對任意的x∈[x1，x2]，f（x）＞f（1）恒成立．求m的取值范圍． 【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程． 【分析】（Ⅰ）當m=2時，f（x）=x3+x2+3x，通過求導(dǎo)得出斜率k的值，從而求出切線方程； （Ⅱ）只需f′（）＞0即可，解不等式求出即可； （Ⅲ）由題設(shè)可得，由判別式△＞0，求出m的范圍，對任意的x∈[x1，x2]，f（x）＞f（1）恒成立的充要條件是，從而綜合得出m的取值范圍． 【解答】解：（Ⅰ）當m=2時，f（x）=x3+x2+3x，∴f′（x）=﹣x2+2x+3， 故k=f′（3）=0， 又∵f（3）=9， ∴曲線y=f（x）在點（3，f（3））處的切線方程為：y=9， （Ⅱ）若f（x）在（）上存在單調(diào)遞增區(qū)間， 即存在某個子區(qū)間（a，b）?（，+∞）使得f′（x）＞0， ∴只需f′（）＞0即可， f′（x）=﹣x2+2x+m2﹣1， 由f′（）＞0解得m＜﹣或m＞， 由于m＞0，∴m＞． （Ⅲ）由題設(shè)可得， ∴方程有兩個相異的實根x1，x2， 故x1+x2=3，且 解得：（舍去）或， ∵x1＜x2，所以2x2＞x1+x2=3，∴， 若 x1≤1＜x2， 則， 而f（x1）=0，不合題意． 若1＜x1＜x2，對任意的x∈[x1，x2]， 有x＞0，x﹣x1≥0，x﹣x2≤0， 則， 又f（x1）=0，所以 f（x）在[x1，x2]上的最小值為0， 于是對任意的x∈[x1，x2]，f（x）＞f（1）恒成立的充要條件是， 解得； 綜上，m的取值范圍是． 　 [選做題]請考生從22、23題中任選一題作答，共10分[選修4-4.坐標系與參數(shù)方程] 22．在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為，以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，圓C 的極坐標方程為． （1）寫出直線l的普通方程及圓C 的直角坐標方程； （2）點P是直線l上的，求點P 的坐標，使P 到圓心C 的距離最小． 【考點】參數(shù)方程化成普通方程；簡單曲線的極坐標方程． 【分析】（1）由已知得t=x﹣3，從而y=，由此能求出直線l的普通方程；由，得，由此能求出圓C的直角坐標方程． （2）圓C圓心坐標C（0，），設(shè)P（3+t，），由此利用兩點間距離公式能求出點P的坐標，使P到圓心C 的距離最?。? 【解答】解：（1）∵在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為， ∴t=x﹣3，∴y=， 整理得直線l的普通方程為=0， ∵，∴， ∴， ∴圓C的直角坐標方程為：． （2）圓C：的圓心坐標C（0，）． ∵點P在直線l： =0上，設(shè)P（3+t，）， 則|PC|==， ∴t=0時，|PC|最小，此時P（3，0）． 　 [選修4-5.不等式選講] 23．已知定義在R上的函數(shù)f（x）=|x﹣m|+|x|，m∈N*，存在實數(shù)x使f（x）＜2成立． （Ⅰ）求實數(shù)m的值； （Ⅱ）若α，β＞1，f（α）+f（β）=2，求證： +≥． 【考點】基本不等式；絕對值三角不等式． 【分析】（I）|x﹣m|+|x|≥|x﹣m﹣x|=|m|，要使|x﹣m|+|x|＜2有解，則|m|＜2，m∈N*，解得m． （II）α，β＞1，f（α）+f（β）=2α﹣1+2β﹣1=2，可得α+β=2．再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出． 【解答】（I）解：∵|x﹣m|+|x|≥|x﹣m﹣x|=|m|， ∴要使|x﹣m|+|x|＜2有解，則|m|＜2，解得﹣2＜m＜2． ∵m∈N*，∴m=1． （II）證明：α，β＞0，f（α）+f（β）=2α﹣1+2β﹣1=2， ∴α+β=2． ∴+==≥=，當且僅當α=2β=時取等號．