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天津市2017屆高三數(shù)學(xué)理一輪復(fù)習(xí)專題突破訓(xùn)練 立體幾何 一、選擇、填空題 1、（2016年天津市高考）已知一個四棱錐的底面是平行四邊形，該四棱錐的三視圖如圖所示（單位：m），則該四棱錐的體積為_______m3. 2、（2015年天津市高考）一個幾何體的三視圖如圖所示（單位：），則該幾何體的體積為 . 　第2題　　　第3題 3、（天津市八校2016屆高三12月聯(lián)考）某幾何體三視圖如右上圖所示，則該幾何體的體積為( )． A． B． C． D． 4、（和平區(qū)2016屆高三第四次模擬）一個幾何體的三視圖如圖所示（單位），則該幾何體的體積為______． 　第4題　　第5題 5、（河北區(qū)2016屆高三總復(fù)習(xí)質(zhì)量檢測（三））某空間幾何體的三視圖如右上圖所示， 則該幾何體的體積為 （A） （B） （C） 6、（河北區(qū)2016屆高三總復(fù)習(xí)質(zhì)量檢測（一））一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為 ______________ 7、（河?xùn)|區(qū)2016屆高三第二次模擬）如右圖所示，一款兒童玩具的 三視圖中俯視圖是以3為半徑的圓，則該兒童玩具的體積為______． 　　　 8、（河西區(qū)2016屆高三下學(xué)期總復(fù)習(xí)質(zhì)量調(diào)查（一））某空間幾何體的三視圖如右上圖所示，則該幾何體的體積為 . 9、（紅橋區(qū)2016屆高三上學(xué)期期末考試）一個俯視圖為正方形的幾何體的三視圖如右圖所示， 則該幾何體的體積為 （A） （B） （C） （D） 10、（天津市六校2016屆高三上學(xué)期期末聯(lián)考）若某幾何體的的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為 　　第10題　　第11題 11、（天津市十二區(qū)縣重點高中2016屆高三畢業(yè)班第一次聯(lián)考）一個機器零件的三視圖如右上圖所示，其中俯視圖是一個半圓內(nèi)切于邊長為3的正方形，則該機器零件的體積為 12、（天津市十二區(qū)縣重點學(xué)校2016屆高三下學(xué)期畢業(yè)班聯(lián)考（二））某幾何體的三視圖如圖所示，其俯視圖是由一個半圓與其直徑組成的圖形，則此幾何體的體積是____ 第12題　　第13題 13、（武清區(qū)2016屆高三5月質(zhì)量調(diào)查（三））如右上圖是一個幾何體的三視圖，則這個幾何體的體積為 ． 二、解答題 1、（2016年天津市高考）如圖，正方形ABCD的中心為O，四邊形OBEF為矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，點G為AB的中點，AB=BE=2. （I）求證：EG∥平面ADF； （II）求二面角O-EF-C的正弦值； （III）設(shè)H為線段AF上的點，且AH=HF，求直線BH和平面CEF所成角的正弦值. 2、（2015年天津市高考）如圖，在四棱柱中，側(cè)棱,,, ,且點M和N分別為的中點. (I)求證：； (II)求二面角的正弦值； (III)設(shè)E為棱上的點，若直線NE和平面ABCD所成角的正弦值為，求線段的長 3、（和平區(qū)2016屆高三第四次模擬）如圖，在底面為菱形的四棱錐中，，點在上，且． （Ⅰ）求證：平面； （Ⅱ）求二面角的正弦值； （Ⅲ）在棱上是否存在點使得平面？若存在，試求的值；若不存在，請說明理由． 4、（河北區(qū)2016屆高三總復(fù)習(xí)質(zhì)量檢測（三）） 如圖，在直三棱柱中，，分別是的 中點，，是上的點． （Ⅰ）求證：； （Ⅱ）是否存在一點，使得平面與平面所成的銳二面角的余弦值為？若存在，說明點的位置；若不存在，請說明理由． 5、（河北區(qū)2016屆高三總復(fù)習(xí)質(zhì)量檢測（一））如圖，在四棱錐中，，，， 是棱上一點． （Ⅰ）若，求證：平面； （Ⅱ）若平面平面，平面平面，求證：平面； （Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若二面角的余弦值為，求的值． 6、（河?xùn)|區(qū)2016屆高三第二次模擬）如圖四棱錐，三角形為正三角形，邊長為2，，，垂直于平面于O，O為的中點，． （1）證明； （2）證明平面； （3）平面與平面所成二面角的余弦值． 7、（河西區(qū)2016屆高三第二次模擬）如圖，垂直于梯形所在平面，，為中點，，，四邊形為矩形. （Ⅰ）求證：∥平面； （Ⅱ）求二面角的大??； （Ⅲ）在線段上是否存在一點，使得與平面所成角的大小為？ 若存在，求出的長；若不存在，說明理由． 8、（河西區(qū)2016屆高三下學(xué)期總復(fù)習(xí)質(zhì)量調(diào)查（一））如圖，在四棱錐中，平面，，四邊形滿足，∥，，點為中點，點為邊上的動點，且. （Ⅰ）求證：∥平面； （Ⅱ）求證：平面平面； （Ⅲ）是否存在實數(shù)，使得二面角的余弦值為？若存在，試求出實 數(shù)的值；若不存在，說明理由． 9、（紅橋區(qū)2016屆高三上學(xué)期期末考試）已知長方體中，棱棱，連結(jié)，過點作的垂線交于，交于． （Ⅰ）求證：平面； （Ⅱ）求點到平面的距離； （Ⅲ）求平面與直線所成角的正弦值． 10、（天津市六校2016屆高三上學(xué)期期末聯(lián)考）如圖,三棱錐中，平面，，，，分別是，的中點，在上，且． （Ⅰ）求證：平面； （Ⅱ）在線段上上是否存在點，使二面角 的大小為？若存在， 求出的長；若不存在，請說明理由． 11、（天津市十二區(qū)縣重點高中2016屆高三畢業(yè)班第一次聯(lián)考）如圖，在四棱錐中，為等邊三角形，平面平面，,，，，為的中點． (Ⅰ) 求證：； (Ⅱ) 求二面角的余弦值； (Ⅲ) 若直線與平面所成的角的正弦值 為,求實數(shù)的值． 12、（天津市十二區(qū)縣重點學(xué)校2016屆高三下學(xué)期畢業(yè)班聯(lián)考（二））如圖，在四棱錐中, 平面, ,為的中點, 在上,且. (I)求證：平面； (II)求平面與平面所成銳二面角的余弦值； (Ⅲ) 點是線段上異于兩端點的任意一點,若滿足異面直線與所成角，求的長. 13、（武清區(qū)2016屆高三5月質(zhì)量調(diào)查（三））如圖，四邊形為矩形，四邊形為直角梯形，∥，， ，，是中點． （1）求證：∥平面； （2）求證： ； （3）若二面角的大小為，求線段的長． 參考答案 一、填空、選擇題 1、2　　 2、【答案】 【解析】 試題分析：由三視圖可知，該幾何體是中間為一個底面半徑為，高為的圓柱，兩端是底面半徑為，高為的圓錐，所以該幾何體的體積 3、B　　4、16　　　　5、B　　　　　　6、　　7、　　8、 9、C　　10、　11、　　12、　　13、3 二、解答題 1、【答案】（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）（Ⅲ） . （I）證明：依題意，.設(shè)為平面的法向量，則，即 .不妨設(shè)，可得，又，可得，又因為直線，所以. （III）解：由，得.因為，所以，進而有，從而，因此.所以，直線和平面所成角的正弦值為 2、【答案】(I)見解析； (II) ； (III) . 【解析】 試題分析：以為原點建立空間直角坐標(biāo)系(I)求出直線的方向向量與平面的法向量，兩個向量的乘積等于即可；(II)求出兩個平面的法向量，可計算兩個平面所成二面角的余弦值的大小，再求正弦值即可；(III) 設(shè)，代入線面角公式計算可解出的值，即可求出的長. 試題解析：如圖，以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，依題意可得， ，又因為分別為和的中點，得. (I)證明：依題意，可得為平面的一個法向量，， 由此可得，，又因為直線平面，所以平面 (II)，設(shè)為平面的法向量，則 ，即，不妨設(shè)，可得， 設(shè)為平面的一個法向量，則，又，得 ，不妨設(shè)，可得 因此有，于是， 所以二面角的正弦值為. (III)依題意，可設(shè)，其中，則，從而，又為平面的一個法向量，由已知得 ，整理得， 又因為，解得， 所以線段的長為. 3、證明：（Ⅰ）∵在菱形中，， ∴．…………………………………………………………………………………1分 ∵， ∴．……………………………………………………………………………2分 ∵， ∴． ∴．…………………………………………………………………………3分 ∵， ∴平面．……………………………………………………………………4分 （Ⅱ）如圖，以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，依題意可得 ， 則．……………………………………………6分 設(shè)平面的一個法向量為， 則，即 設(shè)，可得．………………………………………………………7分 而平面的一個法向量為， ∴．…………………………………………………8分 設(shè)所求二面角的平面角為， 則， 所以二面角的正弦值為．……………………………………………9分 （Ⅲ）因為，為上一點，， 則有，故點坐標(biāo)為． 所以．………………………………………………………11分 由（Ⅱ）可知平面的一個法向量為． 若平面，則，得． 則，即的值為．…………………………………13分 4、證明：（Ⅰ）∵，， ∴． 又平面 ∴． 又， ∴平面． ∴． 以為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的 空間直角坐標(biāo)系， 則． 設(shè)， 則，． ∵， ∴． …………6分 （Ⅱ）假設(shè)點存在，設(shè)平面的法向量為， 則 ∵，， ∴ ∴． 取，則． 又平面的法向量為， ∵平面與平面所成的銳二面角的余弦值為， ∴． 解得或（舍）． ∴當(dāng)為的中點時，滿足條件．…………13分 5、證明：（Ⅰ）連結(jié)，交于點，連結(jié)． ∵∥，， ∴． 又， ∴． ∴∥． ……2分 又平面，平面， ∴∥平面． …… 4分 （Ⅱ）∵平面平面，平面平面，， ∴平面． ∴． …… 6分 同理可證． …… 7分 又，∴平面． ……8分 （Ⅲ）解：以為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 由， 得 由（Ⅱ）可知平面的法向量為． ……9分 設(shè)，即，又， ∴． 設(shè)平面的法向量為， ∵， ∴ ∴． ……11分 ∵二面角的余弦值為， ∴． 解得，即． ……13分 6、（1）如圖以A為原點建立空間直角坐標(biāo)系 （0，0，0）（，-1，0）（，1，0）D（0，1，0）O（，，0） （，，1） ……2分 （，，1） （1，，0） ……5分 （2）（，，1），（，-1，0）設(shè)平面法向量為 令，則（1，，） ……7分 （，，0） 平面 ……9分 （3）（，，1）, （，0，0） 設(shè)平面法向量為 令，則（0，1，） ……11分 平面與平面所成二面角的余弦值為 ……13分 7、（Ⅰ）解：以為原點，以，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系， …………1分 由題意得，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，， 則，，，平面的一個法向量n1，，， ，，，，，， 由，即， 取，得n1，，， 因為n1， 所以n1， ∥平面. …………4分 （Ⅱ）解：設(shè)平面的一個法向量n2，，， ，，，，，， 由，即， 取，得n2，，， 設(shè)平面的一個法向量n3，，， 所以， …………6分 由圖可知二面角為銳二面角， 所以二面角的大小為. …………8分 （Ⅲ）解：設(shè)存在點滿足條件，由，，，，，， 設(shè)（），整理得，，， ，，， …………10分 因為直線與平面所成角的大小為， 所以， 則，由，所以，即點和點重合， 故在線段上存在一點，且. …………13分 8、（Ⅰ）以為原點，以，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系， …………1分 由題意得，，，，，，，，，，，，，，，， ，，， 則，，，平面的一個法向量n1，，， 因為n1=0，所以n1， ∥平面. …………4分 （Ⅱ）設(shè)平面的一個法向量n2，，， ，，，，，， 由，即， 取，得n2，，， 設(shè)平面的一個法向量n3，，， ，，，，，， 由，即， 取，得n3，，， 因為n2n3，所以n2n3， 所以平面平面. …………8分 （Ⅲ）解：設(shè)點，，， 設(shè)平面的一個法向量n4，，， ，，，，，， 由，即， 取，得n3，，， …………10分 平面的一個法向量n5，，， ，解得或， …………12分 所以或. …………13分 9、（Ⅰ）證:以A為原點, 分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系,那么 、、、、、、、 ，，， ………2分 設(shè)，則：，，，，，，，，， ………４分 又 平面． ………５分 （Ⅱ）連結(jié),A到平面的距離,即三棱錐的高,設(shè)為h, ……６分,,由 得: ,, 點A到平面的距離是． ………9分 （Ⅲ）連結(jié)，，平面， 是在平面上的射影，是與平面所成的角，（9分） 設(shè)，那么， ① ， ② 由①、②得，， ………11分 在中，．，因此，與平面所成的角的正弦值是． ………13分 10、（1）由，， 是的中點，得． 因為底面，所以． ------------2分 在中，，所以． 因此，又因為， 所以， 則，即． ------4分 因為底面，所以，又， 所以底面，則． 又，所以平面． --------------6分 (向量法請酌情給分) （2）假設(shè)滿足[條件的點存在，并設(shè)(． 以為坐標(biāo)原點，分別以，， 為，，軸建立空間直線坐標(biāo)， 則 ，，，． 由得． 所以，， ． --------------7分 設(shè)平面的法向量為，則 由，即，取得．--------------9分 設(shè)平面的法向量為，則 由，即，取，即．--------------11分 由二面角的大小為，得， 化簡得，又，求得． 于是滿足條件的點存在，且． --------------13分 11、解： (Ⅰ)由于平面平面，為等邊三角形，為的中點，則，,根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理，所以平面EFCB，又平面，則.…3分 (Ⅱ)取CB的中點D，連接OD,則 以O(shè)為原點，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系， …4分 ，，，，，， 設(shè)平面的法向量 即令 ……6分 平面的法向量為， ……7分 二面角的余弦值， ……8分 由二面角為鈍二面角，所以二面角的余弦值為. ……9分 (Ⅲ) ……10分 設(shè)直線與平面所成角為， ……12分 滿足題意 ……13分 12、解：以A為原點，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系 ……2分 (Ⅰ)設(shè), …………3分 ,平面的法向量 ……………4分 又平面 平面 ……………5分 (Ⅱ)設(shè)平面的法向量 ，即 令 ……………7分 平面的法向量 設(shè)二面角所成的銳二面角為 平面與平面所成銳二面角的余弦值為. ……………9分 (Ⅲ)令 ……10分 …11分 或1（舍） … …13分 13、（1）在上取一點，使，連，∵∥，∴∥ ∴四邊形為平行四邊形………………1分 ∴四邊形為平行四邊形………………3分 ∴∥，∵平面，平面，∴∥平面…………4分 （2）以為坐標(biāo)原點，的方向分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)， ∵，，是中點． ∴，．……………6分 ∴，……………7分 ∵，∴………8分 （3）∵四邊形為矩形，∴，又∵，是平面內(nèi)的兩條相交直線，∴平面 ∵平面，∴，∴，又 ∵是平面內(nèi)的兩條相交直線，∴平面 ………………9分 ∴是平面的一個法向量………………10分 設(shè)平面的一個法向量為，∴ ∴，令，則，即………………11分 ∵二面角的大小為，∴，解得 ∴線段的長為………………13分