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第 1 頁 共 8 頁 八年級數(shù)學全等三角形輔助線添加之截長補短 全等三角形 拔高練習 試卷簡介 本講測試題共兩個大題 第一題是證明題 共 7 個小題 每小題 10 分 第 二題解答題 2 個小題 每小題 15 分 學習建議 本講內容是三角形全等的判定 輔助線添加之截長補短 其中通過截長補 短來添加輔助線是重點 也是難點 希望同學們能學會熟練通過截長補短來做輔助線 進 而構造出全等的三角形 一 解答題 共 1 道 每道 20 分 1 如圖 已知點 C 是 MAN 的平分線上一點 CE AB 于 E B D 分別在 AM AN 上 且 AE AD AB 問 1 和 2 有何關系 答案 解 1 2 180 證明 過點 C 作 CF AN 于點 F 由于 AC 平分 NAM 所以 CF CE 則在 Rt ACF 和 Rt ACE 中 ACF ACE HL AF AE 由于 2AE AD AB 所以 AB AE AF AD DF BE 在 CFD 和 CEB 中 所以 CFD CEB SAS 2 FDC 又 1 FDC 180 1 2 180 解題思路 見到角平分線就要想到作垂直 找到全等關系是解決此類問題的關鍵 易錯點 找到三角形全等的所有條件 試題難度 四顆星 知識點 三角形 第 2 頁 共 8 頁 二 證明題 共 8 道 每道 10 分 1 如圖 已知 ABC 中 A 90 AB AC BE 平分 ABC CE BD 于 E 求證 CE BD 答案 延長 CE 交 BA 的延長線于點 H 由 BE 平分 ABC BE CE 得 CE EH CH 又 1 H 90 2 H 90 1 2 在 ACH 和 ABD 中 HAC DAB 90 AC AB 1 2 ACH ABD ASA CH BD CE CH BD 解題思路 根據(jù)題意 要證明 CE BD 延長 CE 與 BA 由題意的垂直平分線可得 CE 的兩倍長 CH 只 需證明 CH BD 即可 很顯然有全等可以證明出結論 易錯點 不能正確利用題中已知條件 BF 平分 ABC CE BD 于 E 做出輔助線 進而解答 試題難度 三顆星 知識點 全等三角形的判定與性質 2 如圖 已知正方形 ABCD 中 E 為 BC 邊上任意一點 AF 平分 DAE 求證 AE BE DF 第 3 頁 共 8 頁 答案 證明 延長 CB 到 M 使 BM DF 連結 AM 在 ADF 和 ABM 中 ADF ABM SAS 1 3 M 4 由于 AB DC AF 平分 EAD 所以 BAF 4 1 2 2 3 從而 MAE BAF 4 M AE ME BM BE DF BE AE BE DF 解題思路 本問題的關鍵是將 DF 轉移到與 AE BE 都有關的位置 運用等量代換解題 首 先補短 將 DF 移到 BE 處 來證明 AE BM BE 而解決 AE BM BE 問題的關鍵是角度的轉 換 BAF 4 是關鍵 易錯點 將 DF 進行合理的轉化 試題難度 四顆星 知識點 等腰三角形的性質 3 如圖 已知四邊形 ABCD 中 AD BC 若 DAB 的平分線 AE 交 CD 于 E 連結 BE 且 BE 恰好平分 ABC 判斷 AB 的長與 AD BC 的大小關系并證明 第 4 頁 共 8 頁 答案 在 BA 上截取 BF BC BE 恰好平分 ABC CBE FBE 又 BC BF BE BE BCE BFE C BFE 又 AD BC C D 180 而 BFE AFE 180 AFE D 又 AE AE EAF EAD AEF AED AF AD AD BC AF BF AB 解題思路 要證明兩條線段和等于一條線段 最常想到的是截長補短法 截長 在 BA 上截 取 BF BC 或者在 AB 上截取 AF AD 補短 延長 BC 至 G 使 BG BA 易錯點 不會利用截長補短方法解題 試題難度 四顆星 知識點 全等三角形的判定與性質 4 如圖 在 ABC 中 AB AC 1 2 P 為 AD 上任意一點 求證 AB AC PB PC 答案 證明 在 AB 上截 AE AC 連接 PE 在 EAP 和 CAP 中 第 5 頁 共 8 頁 AE AC 1 2 AP AP EAP CAP SAS CP EP 在 BEP 中 PB PE BE PE PC BE AB AE AB AC PB PCPB PC 解題思路 利用截長的方法 易錯點 不能正確作出輔助線 把零散的線段轉化到一個三角形中 試題難度 三顆星 知識點 三角形三邊關系 5 如圖所示 在 ABC 中 1 2 B 2 C 求證 AC AB BD 答案 在邊 AC 上截取 AE AB 連接 DE 在 ABD 與 AED 中 ABD AED SAS BD DE B AED B 2 C AED 2 C 又 AED C CDE C CDE CE DE BD CE AC AE EC AB BD 解題思路 可以用截長法也可以用補短來解 易錯點 遇到線段和等于另一線段時 沒有聯(lián)想到運用截長補短法證明 試題難度 四顆星 知識點 三角形 6 如圖 ABC 中 ABC 60 AD CE 分別平分 BAC ACB 判斷 AC 的長與 AE CD 的大 小關系并證明 第 6 頁 共 8 頁 答案 判斷 AC AE CD 證明 令 AD 與 CE 的交點為 G 在 AC 上截取 AF AE 在 AEG 和 AFG 中 AEG AFG SAS AGE AGF ABC 60 BAC BCA 120 又 AD CE 分別為 BAC 和 BCA 的角平分線 所以 2 3 60 從而 AGE 60 于是 AGF AGE 60 CGD AGE 60 從而 CGF 60 在 CGF 和 CGD 中 CGF CGD CD CF 從而 AC AF CF AE CD 解題思路 看到兩段不相干的線段與另一條線段的關系的題目一定要想到分解較長線段 分別證明相等 易錯點 未將全部條件找全就使兩個三角形全等 試題難度 四顆星 知識點 三角形 7 如圖 Rt ABC 中 ACB 90 CD AB 于 D AF 平分 CAB 交 CD 于 E 交 CB 于 F 且 EG AB 交 CB 于 G 判斷 CF 與 GB 的大小關系并證明 第 7 頁 共 8 頁 答案 判斷 CF GB 證明 過點 F 作 FH AB 于點 H 由于 AF 平分 CAB 則在 ACF 與 AHF 中 ACF AHF 則 CF FH 而 FH AB CD AB FH CD 從而 4 5 3 4 CF CE 從而 CE FH 又 EG AB 所以 6 B CEG CDB 90 則 CEG FHB CG FB 故 CF BG 解題思路 找到全等關系是證明的關鍵 易錯點 想到將線段轉移 想不到全等 試題難度 四顆星 知識點 三角形 8 ABC 中 BAC 60 C 40 AP 平分 BAC 交 BC 于 P BQ 平分 ABC 交 AC 于 Q 求證 AB BP BQ AQ 第 8 頁 共 8 頁 答案 延長 AB 到 E 使 BE BP 連接 EP 則 AE AB BE AB BP ABC 180 BAC C 800 由 BQ 平分 ABC AP 平分 BAC 則 BAP PAC 30 ABQ CBQ 40 又因為 C 400 我們得到 CQ BQ BQ AQ CQ AQ AC BE BP ABP 80 E 80 40 C 在 APE 和 APC 中 E C BAP CAP 30 AP AP APE APC AAS AE AP 即 AB BP BQ AQ 解題思路 見答案詳解 易錯點 正確作出輔助線 根據(jù)等量代換 把沒有聯(lián)系的線段轉化為符合題目要求的線段 試題難度 三顆星 知識點 全等三角形的判定與性質