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課時作業(yè)(五十六) 一、選擇題 1．定義一種運算“*”：對于自然數(shù)n滿足以下運算性質(zhì)： (ⅰ)1](　　) A．n B．n＋1 C．n－1 D．n2 答案　A 解析　由(n＋1)*1＝n*1＋1，得n*1＝(n－1)*1＋1＝(n－2)*1＋2＝…＝1] 2．已知a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an，則a2011＝(　　) A．3 B．－3 C．6 D．－6 答案　A 解析　∵a1＝3，a2＝6，∴a3＝3，a4＝－3，a5＝－6，a6＝－3，a7＝3…… ∴{an}是以6為周期的周期數(shù)列 又2011＝6335＋1，∴a2011＝a1＝3.選A. 3．因為對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)是增函數(shù)， 而y＝logx是對數(shù)函數(shù)，所以y＝logx是增函數(shù)， 上面的推理錯誤的是(　　) A．大前提　　　　　　　B．小前提 C．推理形式 D．以上都是 答案　A 解析　y＝logax是增函數(shù)這個大前提是錯誤的，從而導致結(jié)論錯誤．選A 4．(2011南京質(zhì)檢)把正整數(shù)按一定的規(guī)則排成了如圖所示的三角形數(shù)表．設(shè)aij(i，j＝N*)是位于這個三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第i行，從左往右數(shù)第j個數(shù)，如a42＝8.若aij＝2009，則i與j的和為(　　) 1 2 4 3 5 7 6 8 10 12 9 11 13 15 17 14 16 18 20 22 24 … A.105 B．106 C．107 D．108 答案　C 解析　由三角形數(shù)表可以看出其奇數(shù)行為奇數(shù)列，偶數(shù)行為偶數(shù)列，2009＝21005－1，所以2009為第1005個奇數(shù)，又前31個奇數(shù)行內(nèi)數(shù)的個數(shù)的和為961，前32個奇數(shù)行內(nèi)數(shù)的個數(shù)的和為1024，故2009在第32個奇數(shù)行內(nèi)，所以i＝63，因為第63行的第一個數(shù)為2962－1＝1923,2009＝1923＋2(m－1)，所以m＝44，即j＝44，所以i＋j＝107. 5．設(shè)f(x)＝，又記f1(x)＝f(x)，fk＋1(x)＝f(fk(x))，k＝1，2，…，則f2009(x)等于(　　) A．－ B．x C. D. 答案　D 解析　計算：f2(x)＝f()＝＝－，f3(x)＝f(－)＝＝，f4(x)＝＝x，f5(x)＝f1(x)＝，歸納得f4k＋1(x)＝，k∈N*，從而f2009(x)＝. 6．(2011皖南八校)已知整數(shù)的數(shù)對列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…則第60個數(shù)對是(　　) A．(3,8) B．(4,7) C．(4,8) D．(5,7) 答案　D 解析　觀察可知橫坐標和縱坐標之和為2的數(shù)對有1個，和為3的數(shù)對有2個，和為4的數(shù)對有3個，和為5的數(shù)對有4個，依此類推和為n＋1的數(shù)對有n個，多個數(shù)對的排序是按照橫坐標依次增大的順序來排的，由＝60?n(n＋1)＝120，n∈Z，n＝10時，＝55個數(shù)對，還差5個數(shù)對，且這5個數(shù)對的橫、縱坐標之和為12，它們依次是(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)， ∴第60個數(shù)對是(5,7)． 7．(2011蘇北四市調(diào)研)某紡織廠的一個車間技術(shù)工人m名(m∈N*)，編號分別為1,2,3，…，m，有n臺(n∈N*)織布機，編號分別為1,2,3，…，n，定義記號aij：若第i名工人操作了第j號織布機，規(guī)定aij＝1，否則aij＝0，則等式a41＋a42＋a43＋…＋a4n＝3的實際意義是(　　) A．第4名工人操作了3臺織布機 B．第4名工人操作了n臺織布機 C．第3名工人操作了4臺織布機 D．第3名工人操作了n臺織布機 答案　A 解析　a41＋a42＋a43＋…＋a4n＝3中的第一下標4的意義是第四名工人，第二下標1,2，…，n表示第1號織布機，第2號織布機，……，第n號織布機，根據(jù)規(guī)定可知這名工人操作了三臺織布機． 二、填空題 8．已知1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3,1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，則第5個等式為________，…，推廣到第n個等式為__________________．(注意：按規(guī)律寫出等式的形式，不要求計算結(jié)果) 答案　1－4＋9－16＋25＝1＋2＋3＋4＋5；1－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1(1＋2＋3＋…＋n) 解析　根據(jù)前幾個等式的規(guī)律可知，等式左邊的各數(shù)是自然數(shù)的平方，且正負相間，等式的右邊是自然數(shù)之和且隔項符號相同，由此可推得結(jié)果． 9．(2011湖北八校)已知扇形的圓心角為2α(定值)，半徑為R(定值)，分別按圖1、圖2作扇形的內(nèi)接矩形，若按圖1作出的矩形的面積的最大值為R2tan α，則按圖2作出的矩形的面積的最大值為________． 答案　R2tan 解析　 將圖1沿水平邊翻折作出如圖所示的圖形，內(nèi)接矩形的最大面積S＝2R2tan α＝R2tan α，所以圖2中內(nèi)接矩形的面積的最大值為R2tan. 10．(2011衡水濰坊)已知＝2， ＝3，＝4，…，若＝6，(a，t均為正實數(shù))，類比以上等式，可推測a，t的值，則a＋t＝________. 答案　41 解析　根據(jù)題中所列的前幾項的規(guī)律可知其通項應(yīng)為＝n，所以當n＝6時a＝6，t＝35，a＋t＝41. 11．設(shè)P是邊長為a的正三角形ABC內(nèi)的一點，P點到三邊的距離分別為h1、h2、h3，則h1＋h2＋h3＝a；類比到空間，設(shè)P是棱長為a的正四面體ABCD內(nèi)的一點，則P點到四個面的距離之和h1＋h2＋h3＋h4＝________. 答案　 a 解析　如圖，連接AP，BP，CP，DP，則正四面體ABCD可分成四個小三棱錐，根據(jù)體積相等可得，正四面體的體積為a2a＝a2(h1＋h2＋h3＋h4)，所以h1＋h2＋h3＋h4＝a. 12．(2010福建卷，文)觀察下列等式： ①cos 2α＝2cos2α－1； ②cos 4α＝8cos4α－8cos2α＋1； ③cos 6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1； ④cos 8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1； ⑤cos 10α＝mcos10α－1280cos8α＋1120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1. 可以推測，m－n＋p＝________. 答案　962 解析　觀察等式可知，cos α的最高次的系數(shù)2,8,32,128 構(gòu)成了公比為4的等比數(shù)列，故m＝1284＝512；取α＝0，則cos α＝1，cos 10α＝1，代入等式⑤，得 1＝m－1280＋1120＋n＋p－1，即n＋p＝－350　　(1)； 取α＝，則cos α＝，cos 10α＝－，代入等式⑤，得－＝m()10－1280()8＋1120()6＋n()4＋p()2－1，即n＋4p＝－200　　(2)． 由(1)，(2)可得n＝－400，p＝50，∴m－n＋p＝926. 13．(09浙江)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差數(shù)列．類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列{bn}的前n項積為Tn，則T4，________，________，成等比數(shù)列． 答案　　 解析　對于等比數(shù)列，通過類比，有等比數(shù)列{bn}的前n項積為Tn，則T4＝a1a2a3a4，T8＝a1a2…a8，T12＝a1a2…a12，T16＝a1a2…a16，因此＝a5a6a7a8，＝a9a10a11a12，＝a13a14a15a16，而T4，，，的公比為q16，因此T4，，，成等比數(shù)列． 三、解答題 14．已知橢圓具有如下性質(zhì)：若M、N是橢圓C上關(guān)于原點對稱的兩個點，點P是橢圓上的任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為KPM、KPN時，則KPM與KPN之積是與點P位置無關(guān)的定值．試寫出雙曲線－＝1(a>0，b>0)具有的類似的性質(zhì)，并加以證明． 解析　雙曲線的類似的性質(zhì)為：若M，N是雙曲線－＝1上關(guān)于原點對稱的兩個點，點P是雙曲線上的任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為KPM、KPN時，KPM與KPN之積是與點P位置無關(guān)的定值． 下面給出證明： 設(shè)點M的坐標為(m，n)，則點N的坐標為(－m，－n)，且－＝1. 又設(shè)點P的坐標為(x，y)，由KPM＝，KPN＝得 KPMKPN＝＝，① 將y2＝x2－b2，n2＝m2－b2代入①式，得KPMKPN＝(定值)． 15．已知函數(shù)f(x)＝(ax－a－x)，其中a>0，且a≠1. (1)判斷函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上的單調(diào)性，并加以證明； (2)判斷f(2)－2與f(1)－1，f(3)－3與f(2)－2的大小關(guān)系，由此歸納出一個更一般的結(jié)論，并加以證明； 解析　(1)由已知得f′(x)＝(ax＋a－x)>0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)． (2)f(2)－2>f(1)－1，f(3)－3>f(2)－2. 一般的結(jié)論為：f(n＋1)－(n＋1)>f(n)－n(n∈N*)． 證明過程如下： 事實上，上述不等式等價于f(n＋1)－f(n)>1?>1?(an＋1－1)(an－1)>0，在a>0且a≠1的條件下，(an＋1－1)(an－1)>0顯然成立，故f(n＋1)－(n＋1)>f(n)－n(n∈N*)成立． 1．觀察下列的圖形中小正方形的個數(shù)，則第6個圖中有________個小正方形． 答案　28 解析　設(shè)第n個圖中小正方形個數(shù)為an， 則a1＝3，a2＝a1＋3＝6，a3＝a2＋4＝10，a4＝a3＋5＝15，a5＝a4＋6＝21，a6＝a5＋7＝28. 2．給出下列不等式：23＋53>225＋252,24＋54>235＋253,2＋5>225＋252，….請將上述不等式在左右兩端仍為兩項和的情況下加以推廣，使上述不等式成為推廣不等式的特例，則推廣的不等式為________． 答案　am＋n＋bm＋n>ambn＋anbm(a，b>0，a≠b，m，n>0) 解析　由“23＋53>225＋252”，“24＋54>235＋253”，“2＋5>225＋252”，可得推廣形式的最基本的印象：應(yīng)具有“＋>＋”的形式． 再分析底數(shù)間的關(guān)系，可得較細致的印象：應(yīng)具有“a□＋b□>a□b□＋a□b□”的形式． 再分析指數(shù)間的關(guān)系，可得準確的推廣形式：am＋n＋bm＋n>ambn＋anbm(a，b>0，a≠b，m，n>0)． 3．半徑為r的圓的面積S(r)＝πr2，周長C(r)＝2πr，若將r看做(0，＋∞)上的變量，則(πr2)′＝2πr.① ①式可用語言敘述為：圓的面積函數(shù)的導數(shù)等于圓的周長函數(shù)． 對于半徑R的球，若將R看做(0，＋∞)上的變量，請你寫出類似于①的式子：________________________________________________________________________； ②式可用語言敘述為________________________________________________________________________． 答案　①(πR3)′＝4πR2 ②球的體積函數(shù)的導數(shù)等于球的表面積函數(shù) 4．(2010浙江)在如下數(shù)表中，已知每行、每列中的數(shù)都成等差數(shù)列， 第1列 第2列 第3列 … 第1行 1 2 3 … 第2行 2 4 6 … 第3行 3 6 9 … … … … … … 那么位于表中的第n行第n＋1列的數(shù)是________． 答案　n2＋n 解析　第n行的第一個數(shù)是n，第n行的數(shù)構(gòu)成以n為公差的等差數(shù)列，則其第n＋1項為n＋nn＝n2＋n.