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1 八上數(shù)學 三角形邊角關系拔高題型 一 選擇題 共 3 小題 1 2015 鄭州模擬 如圖 ABC 中 BO CO 分別是 ABC ACB 的平分線 A 50 則 BOC 等于 A 110 B 115 C 120 D 130 2 2015 桂林 如圖 在 ABC 中 A 50 C 70 則外角 ABD 的度數(shù)是 A 110 B 120 C 130 D 140 3 2013 河北 一個正方形和兩個等邊三角形的位置如圖所示 若 3 50 則 1 2 A 90 B 100 C 130 D 180 二 解答題 共 9 小題 4 2016 春 淮安期中 在 ABC 中 CD AB 于 D CE 是 ACB 的平分線 A 20 B 60 求 BCD 和 ECD 的度數(shù) 5 2014 秋 富順縣校級期末 如圖所示 已知 P 是 ABC 內(nèi)一點 試說明 PA PB PC AB BC AC 2 6 2016 春 故城縣期末 已知 a b c 為三角形的三邊長 化簡 b c a b c a c a b a b c 7 2013 秋 鯉城區(qū)校級期末 一個三角形的周長為 36cm 三邊之比 a b c 2 3 4 求 a b c 的 值 8 2015 秋 東莞校級期中 若三角形三條邊的長度依次為 x x 2 x 2 則 x 的取值范圍是多少 9 2016 春 遷安市月考 將紙片 ABC 沿 DE 折疊使點 A 落在 A 處的位置 1 如果 A 落在四邊形 BCDE 的內(nèi)部 如圖 1 A 與 1 2 之間存在怎樣的數(shù)量關系 并說明理 由 2 如果 A 落在四邊形 BCDE 的 BE 邊上 這時圖 1 中的 1 變?yōu)?0 角 則 A 與 2 之間的關系是 3 如果 A 落在四邊形 BCDE 的外部 如圖 2 這時 A 與 1 2 之間又存在怎樣的數(shù)量關系 并說 明理由 3 10 2006 浙江 已知 如圖 AB CD 直線 EF 分別交 AB CD 于點 E F BEF 的平分線與 DFE 的平分線相交于點 P 求證 P 90 11 2015 春 東城區(qū)期末 已知 MON 點 A B 分別在射線 ON OM 上移動 不與點 O 重合 AD 平分 BAN BC 平分 ABM 直線 AD BC 相交于點 C 1 如圖 1 若 MON 90 試猜想 ACB 的度數(shù) 并直接寫出結(jié)果 2 如圖 2 若 MON 問 當點 A B 在射線 ON OM 上運動的過程中 ACB 的度數(shù)是否改變 若不改變 求出其值 用含 的式子表示 若改變 請說明理由 3 如圖 3 若 MON BC 平分 ABO 其他條件不改變 問 2 中的結(jié)論是否仍然成立 請直 接寫出你得結(jié)論 4 12 2016 春 太倉市期末 已知 MON 40 OE 平分 MON 點 A B C 分別是射線 OM OE ON 上的動點 A B C 不與點 O 重合 連接 AC 交射線 OE 于點 D 設 OAC x 1 如圖 1 若 AB ON 則 ABO 的度數(shù)是 當 BAD ABD 時 x 當 BAD BDA 時 x 2 如圖 2 若 AB OM 則是否存在這樣的 x 的值 使得 ADB 中有兩個相等的角 若存在 求出 x 的值 若不存在 說明理由 5 一 選擇題 共 3 小題 1 2015 鄭州模擬 如圖 ABC 中 BO CO 分別是 ABC ACB 的平分線 A 50 則 BOC 等于 A 110 B 115 C 120 D 130 考點 三角形內(nèi)角和定理 角平分線的定義 菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 分析 根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和角平分線的定義求出 OBC OCB 的度數(shù) 再根據(jù)三角形的內(nèi)角和 等于 180 即可求出 BOC 的度數(shù) 解答 解 A 50 ABC ACB 180 A 180 50 130 BO CO 分別是 ABC ACB 的平分線 OBC ABC OCB ACB OBC OCB ABC ACB 130 65 BOC 180 OBC OCB 180 65 115 故選 B 點評 本題主要利用三角形的內(nèi)角和定理和角平分線的定義 熟練掌握定理和概念是解題的關鍵 2 2015 桂林 如圖 在 ABC 中 A 50 C 70 則外角 ABD 的度數(shù)是 A 110 B 120 C 130 D 140 考點 三角形的外角性質(zhì) 菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 分析 根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和列式計算即可得解 6 解答 解 由三角形的外角性質(zhì)的 ABD A C 50 70 120 故選 B 點評 本題考查了三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì) 熟記性質(zhì)是解題的關鍵 3 2013 河北 一個正方形和兩個等邊三角形的位置如圖所示 若 3 50 則 1 2 A 90 B 100 C 130 D 180 考點 三角形內(nèi)角和定理 菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 分析 設圍成的小三角形為 ABC 分別用 1 2 3 表示出 ABC 的三個內(nèi)角 再利用三角形的 內(nèi)角和等于 180 列式整理即可得解 解答 解 如圖 BAC 180 90 1 90 1 ABC 180 60 3 120 3 ACB 180 60 2 120 2 在 ABC 中 BAC ABC ACB 180 90 1 120 3 120 2 180 1 2 150 3 3 50 1 2 150 50 100 故選 B 點評 本題考查了三角形的內(nèi)角和定理 用 1 2 3 表示出 ABC 的三個內(nèi)角是解題的關鍵 也 是本題的難點 7 二 解答題 共 9 小題 4 2016 春 淮安期中 在 ABC 中 CD AB 于 D CE 是 ACB 的平分線 A 20 B 60 求 BCD 和 ECD 的度數(shù) 考點 三角形的角平分線 中線和高 菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 分析 由 CD AB 與 B 60 根據(jù)兩銳角互余 即可求得 BCD 的度數(shù) 又由 A 20 B 60 求 得 ACB 的度數(shù) 由 CE 是 ACB 的平分線 可求得 ACE 的度數(shù) 然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì) 求得 CEB 的度數(shù) 解答 解 CD AB CDB 90 B 60 BCD 90 B 90 60 30 A 20 B 60 A B ACB 180 ACB 100 CE 是 ACB 的平分線 ACE ACB 50 CEB A ACE 20 50 70 ECD 90 70 20 點評 此題考查了三角形的內(nèi)角和定理 三角形外角的性質(zhì)以及三角形高線 角平分線的定義等知 識 此題難度不大 解題的關鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應用 5 2014 秋 富順縣校級期末 如圖所示 已知 P 是 ABC 內(nèi)一點 試說明 PA PB PC AB BC AC 考點 三角形三邊關系 菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 8 專題 證明題 分析 根據(jù)三角形的三邊關系就可以證出 解答 證明 在 ABP 中 AP BP AB 同理 BP PC BC AP PC AC 以上三式分別相加得到 2 PA PB PC AB BC AC 即 PA PB PC AB BC AC 點評 解本題的本題的關鍵是多次運用了三角形的三邊關系定理 6 2016 春 故城縣期末 已知 a b c 為三角形的三邊長 化簡 b c a b c a c a b a b c 考點 三角形三邊關系 絕對值 整式的加減 菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 分析 根據(jù)三角形的三邊關系得出 a b c a c b b c a 再去絕對值符號 合并同類項即可 解答 解 a b c 為三角形三邊的長 a b c a c b b c a 原式 b c a b c a c a b a c b b c a a c b a b c b a c 2c 2a 點評 本題考查的是三角形的三邊關系 熟知三角形任意兩邊之和大于第三邊 任意兩邊之差小于第三 邊是解答此題的關鍵 7 2013 秋 鯉城區(qū)校級期末 一個三角形的周長為 36cm 三邊之比 a b c 2 3 4 求 a b c 的 值 考點 三角形 菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 分析 設三邊長分別為 2x 3x 4x 根據(jù)周長為 36cm 列出方程 解出方程的解即可得出答案 解答 解 設三邊長分別為 2x 3x 4x 由題意得 2x 3x 4x 36 解得 x 4 則 a 2 4 8 cm 9 b 3 4 12 cm c 4 4 16 cm 點評 本題考查了三角形 用到的知識點是三角形的周長 一元一次方程的應用 解答本題的關鍵是設 出三邊的長 利用方程思想求解 8 2015 秋 東莞校級期中 若三角形三條邊的長度依次為 x x 2 x 2 則 x 的取值范圍是多少 考點 三角形三邊關系 解一元一次不等式組 菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 分析 根據(jù)三角形的三邊關系定理得出 x x 2 x 2 求出即可 解答 解 x 2 x x 2 x x 2 x 2 且 x 0 解得 x 4 即 x 的取值范圍是 x 4 點評 本題考查了三角形的三邊關系定理的應用 能正確根據(jù)三角形三邊關系定理得出不等式是解此題 的關鍵 9 2016 春 遷安市月考 將紙片 ABC 沿 DE 折疊使點 A 落在 A 處的位置 1 如果 A 落在四邊形 BCDE 的內(nèi)部 如圖 1 A 與 1 2 之間存在怎樣的數(shù)量關系 并說明理 由 2 如果 A 落在四邊形 BCDE 的 BE 邊上 這時圖 1 中的 1 變?yōu)?0 角 則 A 與 2 之間的關系是 2 A 2 3 如果 A 落在四邊形 BCDE 的外部 如圖 2 這時 A 與 1 2 之間又存在怎樣的數(shù)量關系 并說 明理由 考點 三角形內(nèi)角和定理 三角形的外角性質(zhì) 菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 分析 1 根據(jù)折疊性質(zhì)得出 AED A ED ADE A DE 根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出 AED ADE 180 A 代入 1 2 180 180 2 AED ADE 求出即可 10 2 根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出 DME A 1 2 A DME 代入即可求出答案 解答 解 1 圖 1 中 2 A 1 2 理由是 延 DE 折疊 A 和 A 重合 AED A ED ADE A DE AED ADE 180 A 1 2 180 180 2 AED ADE 1 2 360 2 180 A 2 A 2 2 A 2 如圖 2 A EA D 2 A 故答案為 2 A 2 3 如圖 2 2 A 2 1 理由是 延 DE 折疊 A 和 A 重合 A A DME A 1 2 A DME 2 A A 1 即 2 A 2 1 點評 本題考查了折疊的性質(zhì) 三角形外角性質(zhì) 三角形內(nèi)角和定理的應用 主要考查學生運用定理進 行推理和計算的能力 11 10 2006 浙江 已知 如圖 AB CD 直線 EF 分別交 AB CD 于點 E F BEF 的平分線與 DFE 的平分線相交于點 P 求證 P 90 考點 三角形內(nèi)角和定理 平行線的性質(zhì) 菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題 證明題 分析 由 AB CD 可知 BEF 與 DFE 互補 由角平分線的性質(zhì)可得 PEF PFE 90 由三角形內(nèi) 角和定理可得 P 90 解答 證明 AB CD BEF DFE 180 又 BEF 的平分線與 DFE 的平分線相交于點 P PEF BEF PFE DFE PEF PFE BEF DFE 90 PEF PFE P 180 P 90 點評 考查綜合運用平行線的性質(zhì) 角平分線的定義 三角形內(nèi)角和等知識解決問題的能力 11 2015 春 東城區(qū)期末 已知 MON 點 A B 分別在射線 ON OM 上移動 不與點 O 重合 AD 平分 BAN BC 平分 ABM 直線 AD BC 相交于點 C 1 如圖 1 若 MON 90 試猜想 ACB 的度數(shù) 并直接寫出結(jié)果 2 如圖 2 若 MON 問 當點 A B 在射線 ON OM 上運動的過程中 ACB 的度數(shù)是否改變 若不改變 求出其值 用含 的式子表示 若改變 請說明理由 12 3 如圖 3 若 MON BC 平分 ABO 其他條件不改變 問 2 中的結(jié)論是否仍然成立 請直 接寫出你得結(jié)論 考點 三角形內(nèi)角和定理 三角形的外角性質(zhì) 菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題 探究型 分析 1 利用外角的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理可得 NAB MBA 90 ABO 90 BAO 90 180 270 由角平分線的性質(zhì)得 CAB CBA 由內(nèi)角和定理得 ACB 2 如圖 1 由角平分線的性質(zhì)易得 1 2 BAN 3 4 ABM 由三角形外角和定理易得 2 4 得 ACB 3 如圖 2 同 2 可得結(jié)論 解答 解 1 MON 90 NAB AOB ABO 90 ABO ABM AOB BAO 90 BAO NAB MBA 90 ABO 90 BAO 90 180 270 AD 平分 BAN BC 平分 ABM CAB CBA 135 ACB 45 2 ACB 的度數(shù)不改變 如圖 1 AD 平分 BAN BC 平分 ABM 1 2 BAN 3 4 ABM BAN O 6 ABM O 5 2 4 BAN ABM O 5 O 6 90 O ACB 180 2 4 90 O 90 3 ACB 的度數(shù)不改變 如圖 2 2 ACB 3 NAB 3 4 AD 平分 BAN BC 平分 ABO NAB 2 2 2 2 2 3 2 3 13 ACB 點評 本題主要考查了角平分線的性質(zhì) 外角性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理 綜合運用各定理是解答此題 的關鍵 12 2016 春 太倉市期末 已知 MON 40 OE 平分 MON 點 A B C 分別是射線 OM OE ON 上的動點 A B C 不與點 O 重合 連接 AC 交射線 OE 于點 D 設 OAC x 1 如圖 1 若 AB ON 則 ABO 的度數(shù)是 20 當 BAD ABD 時 x 120 當 BAD BDA 時 x 60 2 如圖 2 若 AB OM 則是否存在這樣的 x 的值 使得 ADB 中有兩個相等的角 若存在 求出 x 的值 若不存在 說明理由 考點 三角形的角平分線 中線和高 平行線的性質(zhì) 三角形內(nèi)角和定理 菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題 計算題 分析 利用角平分線的性質(zhì)求出 ABO 的度數(shù)是關鍵 分類討論的思想 14 解答 解 1 MON 40 OE 平分 MON AOB BON 20 AB ON ABO 20 BAD ABD BAD 20 AOB ABO OAB 180 OAC 120 BAD BDA ABO 20 BAD 80 AOB ABO OAB 180 OAC 60 故答案為 20 120 60 2 當點 D 在線段 OB 上時 若 BAD ABD 則 x 20 若 BAD BDA 則 x 35 若 ADB ABD 則 x 50 當點 D 在射線 BE 上時 因為 ABE 110 且三角形的內(nèi)角和為 180 所以只有 BAD BDA 此時 x 125 綜上可知 存在這樣的 x 的值 使得 ADB 中有兩個相等的角 且 x 20 35 50 125 點評 本題考查了三角形的內(nèi)角和定理和三角形的外角性質(zhì)的應用 注意 三角形的內(nèi)角和等于 180 三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角之和 15 考點卡片 1 絕對值 1 概念 數(shù)軸上某個數(shù)與原點的距離叫做這個數(shù)的絕對值 互為相反數(shù)的兩個數(shù)絕對值相等 絕對值等于一個正數(shù)的數(shù)有兩個 絕對值等于 0 的數(shù)有一個 沒有絕對值等于負數(shù)的數(shù) 有理數(shù)的絕對值都是非負數(shù) 2 如果用字母 a 表示有理數(shù) 則數(shù) a 絕對值要由字母 a 本身的取值來確定 當 a 是正有理數(shù)時 a 的絕對值是它本身 a 當 a 是負有理數(shù)時 a 的絕對值是它的相反數(shù) a 當 a 是零時 a 的絕對值是零 即 a a a 0 0 a 0 a a 0 2 整式的加減 1 幾個整式相加減 通常用括號把每一個整式括起來 再用加減號連接 然后去括號 合并同類項 2 整式的加減實質(zhì)上就是合并同類項 3 整式加減的應用 認真審題 弄清已知和未知的關系 根據(jù)題意列出算式 計算結(jié)果 根據(jù)結(jié)果解答實際問題 規(guī)律方法 整式的加減步驟及注意問題 1 整式的加減的實質(zhì)就是去括號 合并同類項 一般步驟是 先去括號 然后合并同類項 2 去括號時 要注意兩個方面 一是括號外的數(shù)字因數(shù)要乘括號內(nèi)的每一項 二是當括號外是 時 去 括號后括號內(nèi)的各項都要改變符號 3 解一元一次不等式組 1 一元一次不等式組的解集 幾個一元一次不等式的解集的公共部分 叫做由它們所組成的不等式組 的解集 16 2 解不等式組 求不等式組的解集的過程叫解不等式組 3 一元一次不等式組的解法 解一元一次不等式組時 一般先求出其中各不等式的解集 再求出這些 解集的公共部分 利用數(shù)軸可以直觀地表示不等式組的解集 方法與步驟 求不等式組中每個不等式的解集 利用數(shù)軸求公共部分 解集的規(guī)律 同大取大 同小取小 大小小大中間找 大大小小找不到 4 角平分線的定義 1 角平分線的定義 從一個角的頂點出發(fā) 把這個角分成相等的兩個角的射線叫做這個角的平分線 2 性質(zhì) 若 OC 是 AOB 的平分線 則 AOC BOC AOB 或 AOB 2 AOC 2 BOC 3 平分角的方法有很多 如度量法 折疊法 尺規(guī)作圖法等 要注意積累 多動手實踐 5 平行線的性質(zhì) 1 平行線性質(zhì)定理 定理 1 兩條平行線被第三條直線所截 同位角相等 簡單說成 兩直線平行 同位角相等 定理 2 兩條平行線被地三條直線所截 同旁內(nèi)角互補 簡單說成 兩直線平行 同旁內(nèi)角互補 定理 3 兩條平行線被第三條直線所截 內(nèi)錯角相等 簡單說成 兩直線平行 內(nèi)錯角相等 2 兩條平行線之間的距離處處相等 6 三角形 1 三角形的概念 由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形 組成三角形的線段叫做三角形的邊 相鄰兩邊的公共端點叫做三角形的頂點 相鄰兩邊組成的角叫做三角形的內(nèi)角 簡稱三角形的角 2 按邊的相等關系分類 不等邊三角形和等腰三角形 底和腰不等的等腰三角形 底和腰相等的等腰 三角形即等邊三角形 17 3 三角形的主要線段 角平分線 中線 高 4 三角形具有穩(wěn)定性 7 三角形的角平分線 中線和高 1 從三角形的一個頂點向底邊作垂線 垂足與頂點之間的線段叫做三角形的高 2 三角形一個內(nèi)角的平分線與這個內(nèi)角的對邊交于一點 則這個內(nèi)角的頂點與所交的點間的線段叫做 三角形的角平分線 3 三角形一邊的中點與此邊所對頂點的連線叫做三角形的中線 4 三角形有三條中線 有三條高線 有三條角平分線 它們都是線段 5 銳角三角形的三條高在三角形內(nèi)部 相交于三角形內(nèi)一點 直角三角形有兩條高與直角邊重合 另 一條高在三角形內(nèi)部 它們的交點是直角頂點 鈍角三角形有兩條高在三角形外部 一條高在三角形內(nèi)部 三條高所在直線相交于三角形外一點 8 三角形三邊關系 1 三角形三邊關系定理 三角形兩邊之和大于第三邊 2 在運用三角形三邊關系判定三條線段能否構(gòu)成三角形時并不一定要列出三個不等式 只要兩條較短 的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個三角形 3 三角形的兩邊差小于第三邊 4 在涉及三角形的邊長或周長的計算時 注意最后要用三邊關系去檢驗 這是一個隱藏的定時炸彈 容易忽略 9 三角形內(nèi)角和定理 1 三角形內(nèi)角的概念 三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角 每個三角形都有三個內(nèi)角 且每個內(nèi)角均大 于 0 且小于 180 2 三角形內(nèi)角和定理 三角形內(nèi)角和是 180 3 三角形內(nèi)角和定理的證明 證明方法 不唯一 但其思路都是設法將三角形的三個內(nèi)角移到一起 組合成一個平角 在轉(zhuǎn)化中借助平 行線 4 三角形內(nèi)角和定理的應用 主要用在求三角形中角的度數(shù) 直接根據(jù)兩已知角求第三個角 依據(jù)三角形中角的關系 用代數(shù)方 法求三個角 在直角三角形中 已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角 18 10 三角形的外角性質(zhì) 1 三角形外角的定義 三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角 叫做三角形的外角 三角形共有六個外角 其中有公共頂點的兩個相等 因此共有三對 2 三角形的外角性質(zhì) 三角形的外角和為 360 三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和 三角形的一個外角大于和它不相鄰的任何一個內(nèi)角 3 若研究的角比較多 要設法利用三角形的外角性質(zhì) 將它們轉(zhuǎn)化到一個三角形中去 4 探究角度之間的不等關系 多用外角的性質(zhì) 先從最大角開始 觀察它是哪個三角形的外角