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第三章 圖形的平移與旋轉 本章教材分析 本章立足于學生已有的生活常識，從經(jīng)常見到的一些實際的平移、旋轉現(xiàn)象入手，直觀地認識平移和旋轉，并動手做一些平移和旋轉的實驗，從中體驗平移、旋轉過程中物體的形狀、大小沒有發(fā)生變化，進一步觀察圖形在平移、旋轉運動與變換過程中有關點、線段和角的變化現(xiàn)象，從而得出一般的性質。 通過對平移、旋轉在實際中的實例觀察、認真思索，分析歸納出平移和旋轉的一般性質，即：在變換過程中圖形的形狀和大小都沒改變，只是位置發(fā)生了改變，并探索出圖形變化前后的位置之間的對應點，對應線段之間所具有的一般性質和規(guī)律，從而提高了同學們對生活的觀察能力，和將實際問題抽象成數(shù)學問題的能力。 根據(jù)已有的平移、旋轉知識，課本設計了圖形是怎樣變化過來的一節(jié)，讓大家更進一步觀察平移、旋轉，感悟變化過程中，為下一節(jié)中簡單的圖形設計打下了良好的基礎。 通過自己動手設計圖案，并與同學交流的活動，加深對平移、旋轉的理解，提高學生的動手操作能力和審美的認識，讓學生體驗到成功的樂趣。 3．1 生活中的平移 一、學習目標定位 1．經(jīng)歷觀察、分析、操作、欣賞以及抽象、概括等過程，探索圖形平移的基本性質，進一步發(fā)慌空間觀察，增強審美意識。 2．通過具體實例認識平移，理解平移的基本內涵，理解平移的基本性質。 二、重點難點解析 重點：平移的基本內涵和平移的基本性質。 難點：平移特征的探索及理解。 三、教學過程 1．引入 列舉“傳送帶上的電視機的形狀、大小是否發(fā)生了改變”、“手扶電梯上的人”、“筆直的鐵道上行駛的火車”、“上下樓的電梯”等與平移有關的現(xiàn)象，可見平移在生活中無處不在，為我們的生活帶來很大幫助。借助實物演示平移。 上述這些現(xiàn)象所具有的共同特征：沿某一方向移動一定距離，形狀、大小不改變。 2．總結得出平移的定義：在平面內，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動稱為平移。 分析平移定義，探討“沿某一方向”的意義，其實質是沿直線運動。 讓學生列舉生活中的平移實例，對理解有偏差的加以糾正。 3．平移的性質 根據(jù)定義得到：經(jīng)過平移，對應點所連的線段平行且相等；對應線段平行且相等，對應角相等。 如圖：P68 點A、B、C、D分別平移到了點E、F、G、H，A與E，B與F，C與G，D與H分別是一對對應點；AB與EF是一對對應線段；∠BAD與∠FEH是一對對應角。 4．例題講解 例1 如圖所示，△ABE沿射線XY方向平移一定距離后成為△CDF。找出圖中平行且相等的線段和全等的三角形。 X Y 變式練習：如圖所示，∠DEF是∠ABC經(jīng)過平移得到的，∠ABC＝33O，求∠DEF的度數(shù)。 X Y A B C A／ B／ C／ D 2．如圖所示，將∠ABC沿射線XY平移至∠A／B／C／，且BC與A／B／交點為D，圖中有哪些相等的角？ 3.運用所過的軸對稱及圖形的平移知識設計一幅圖案，或畫出生活中所見到的圖案。 A B C D E F 4．如圖所示有兩個村莊A和B被一條河隔開，現(xiàn)要架一座橋（橋與河岸垂直），請你設計一種方案，使由A到B的路程最短。 3.2 簡單的平移作圖 一、學習目標定位 1．能夠按要求作出簡單平面圖形平移后的圖形。 2．能夠探索圖形之間的平移關系。 二、重點難點解析 重點：按給定要求作出簡單平面圖形平移后的圖形以及探索圖形之間的平移關系。 難點：尋找較復雜圖案中“基本圖案”。 三、教學過程 第一課時 1．復習引入： 提問：1、什么叫平移？2、平移有哪些性質？3、決定平移的兩大要素是什么？ 2．探究新知： 提出問題：（課件演示）經(jīng)過平移，線段AB的端點移到了點D，你能作出線段AB平移后的圖形嗎？ A D B E 圖表 1 引導學生歸納總結作圖的方法。 練習：P74 1 3．例題講解 例1：如圖，經(jīng)過平移，△ABC的頂點A移到了點D，請作出平移后的三角形。 分析：因為A與D是對應點，而平移的對應點的連線段平行且相等所以平移方向——射線AD，平移距離——線段AD的長， 作法： 1、分別過點B、C沿AD方向作線段BE、CF，使它們與AD平行且相等 2、順次連結D、E、F 則△DEF即為所求。 練習：P84 2 例2先討論，再講解。將字母A按箭頭所指的方向平移3厘米，作出平移后的圖形。 A B C D E 練習P84 3 補充： 如圖，已知Rt△ABC中，∠C=90，BC=4，AC=4，現(xiàn)將△ABC沿CB方向平移到△A’B’C’的位置。 （1）若平移距離為3，求△ABC與△A’B’C’的重疊部分的面積； （2）若平移距離為x（ ），求△ABC與△A’B’C’的重疊部分的面積y，并寫出y與x的關系式。 解：（1）由題意CC’=3，BB’=3，所以BC’=1， 又由題意易得重疊部分是一個等腰直角三角形，所以其面積為 ； 　?。?） 說明：這里應用了平移的定義及對應線段平行的性質。 第2課時 創(chuàng)設情景，探究新知： （演示課件）：教材上小狗的圖案。提問：（1）這個圖案有什么特點？（2）它可以通過什么“基本圖案”，經(jīng)過怎樣的平移而形成？（3）在平移過程中，“基本圖案”的大小、形狀、位置是否發(fā)生了變化？ 看磁性黑板，展示教材64頁圖3-9，提問：左圖是一個正六邊形，它經(jīng)過怎樣的平移能得到右圖？誰到黑板做做看？ 展示教材64頁3-10，提問：左圖是一種“工”字形磚，右圖是怎樣通過左圖得到的？ （演示課件）教材65頁圖3-11，提問：這個圖可以看做是什么“基本圖案”通過平移得到的？ 3.3 生活中的旋轉 一、學習目標定位 1．通過對生活中與旋轉現(xiàn)象有關的圖形進行觀察、分析，以及動手操作、畫圖等過程，掌握有關的畫圖技能。 2．通過具體實例認識旋轉，理解旋轉前后兩個圖形對應點到旋轉中心距離相等，對應點與旋轉中心的連線所成的角彼此相等的性質，發(fā)展初步的審美能力。 二、重點難點解析 重點：對生活中的旋轉現(xiàn)象作數(shù)學上的分析研究，旋轉的定義，旋轉的基本性質。 難點：對旋轉現(xiàn)象的分析研究，對旋轉性質的探索。 三、教學過程 (一)巧設情景問題，引入課題 日常生活中，我們經(jīng)常見到以下情景(出示圖示：鐘表、汽車方向盤、轆轤或電腦演示：鐘表指針的轉動、汽車方向盤的轉動、轆轤打水的情景)。（1)上面情景中的轉動現(xiàn)象，有什么共同特征？(2)鐘表的指針、鐘擺在轉動過程中，其形狀、大小、位置是否發(fā)生改變？汽車方向盤的轉動呢？ 1.在這些轉動的現(xiàn)象中，它們都是繞著一個點轉動的。 2.每個物體的轉動都是向同一個方向轉動。 3.鐘表的指針、鐘擺在轉動過程中，它的形狀、大小沒有變化，只是它的位置有所改變. 4.汽車的方向盤在轉動過程中，同樣它的形狀、大小沒有改變，方向盤上的每點的位置所變化。同學們觀察得很仔細，我們把這樣的轉動叫旋轉(circumrotate)，這節(jié)課我們就來探討生活中的旋轉. （二）講授新課 1．在數(shù)學中，如何定義旋轉呢？在平面內，將一個圖形繞著一個定點沿某個方向轉動一個角度，這樣的圖形運動稱為旋轉(circumrotate).這個定點稱為旋轉中心，轉動的角稱為旋轉角. 注意：“將一個圖形繞一個定點沿某個方向轉動一個角度”意味著圖形上的每個點同時都按相同的方式轉動相同的角度.在物體繞著一個定點轉動時，它的形狀和大小不變。因此，旋轉具有不改變圖形的大小和形狀的特征。 2．由旋轉的定義總結決定旋轉的三要素： 旋轉中心，旋轉方向，旋轉角度。 對應練習：P80 隨堂練習 1 議一議：（課本67頁）答：(1)旋轉中心是O點，旋轉角是∠AOD.旋轉角還可以是∠BOE. (2)四邊形AOBC繞O點旋轉到四邊形DOEF的位置.這時點A旋轉到點D的位置，點B旋轉到點E的位置. (3)可以把OA看作鐘表的指針，它OA的位置旋轉到OD的位置，指針的長短、形狀沒有變化，所以OA與OD是相等的.同樣，線段OB與OE是相等的. (4)因為四邊形AOBC繞O點旋轉到四邊形DOEF的位置，在旋轉的過程中，圖形上的每個點同時都按相同的方向旋轉相同的角度，所以∠AOD與∠BOE是相等的. (4)也可以這樣理解：因為四邊形AOBC繞O點旋轉到四邊形DOEF的位置，所以∠AOB與∠DOE是相等的，又因為∠BOD是公共角，所以，∠AOD與∠BOE是相等的. 看上圖，四邊形DOEF是由四邊形AOBC繞O點旋轉得到的，經(jīng)過旋轉，點A移動到點D的位置，點B移動到點E的位置，點C移動到點F的位置，則點A與點D、點B與點E、點C與點F就是對應點.從剛才大家得出的結論中，能否總結出旋轉的性質呢？ 答：因為O是旋轉中心，點A與點D是對應點，點B與點E是對應點，且OA=OD，OB=OE，所以可以知道：對應點與旋轉中心所連的線段的長度是相等的. 因為點A與點D、點B與點E是對應點，且∠AOD=∠BOE，所以由此可以知道：對應點與旋轉中心的連線所成的角是互相相等的. 由此我們得到了 3．旋轉角的定義：任意一對對應點與旋轉中心的連線所成的角都是旋轉角。 4．旋轉的基本性質：經(jīng)過旋轉，對應點到旋轉中心的距離相等，對應點與旋轉中心的連線所成的旋轉角相等. 5．例題講解： ［例1］ 分析：經(jīng)演示(鐘表實物或教具)可以知道，分針是繞著表面盤的中心位置，即鐘表的軸心旋轉的，它旋轉一周時的度數(shù)是360,一周需要60分，因此每分鐘分針所轉過的度數(shù)是6，這樣20分時，分針逆轉的角度即可求出。 補充練習： 1．2點整、7點整，時針與分針所成的角分別為幾度？ 析：點整，時針經(jīng)過，與分針的夾角是時，夾角為，時為，2點時，；7點時， 2．3點12分，3點40分時，時針與分針所成角各為多大？ 析：點分時，兩針所成的角為。其中，時針每小時轉動，時針每分鐘轉動。 （三）活動與探究 1.分析圖中的旋轉現(xiàn)象. 過程：讓學生畫圖、找規(guī)律，也可讓他們通過剪切，找到旋轉規(guī)律. 結果：旋轉現(xiàn)象為： 整個圖形可以看做是圖形的八分之一(一組大小不等的三個“角”)繞中心位置，按照同一方向連續(xù)旋轉45、90、135、180、225、270、315前后的圖形共同組成的. 整個圖形也可以看做是圖形的四分之一(兩組相鄰的“角”)繞中心位置連續(xù)旋轉90、180、270前后的圖形共同組成的. 整個圖形還可以看做是圖形的二分之一(四組相鄰的“角”)繞中心位置旋轉180前后的圖形共同組成的. 2.圖中是否存在這樣的兩個三角形，其中一個是另一個通過旋轉得到的？ 過程：同樣讓學生在畫圖過程中體會圖形中每個三角形之間的關系；或讓學生仔細觀察圖形，分析圖形，找出關系. 結果：圖中存在這樣的三角形，其中一個是另一個通過旋轉得到的. 整個圖形可以看做圖形的四分之一(一組“樓梯”)繞中心連續(xù)旋轉90、180、 270.前后的圖形共同組成的. 整個圖形也可以看做圖形的二分之一(兩組“樓梯”)繞中心位置旋轉180前后的圖形共同組成的。 四、歸納小結 圖形的旋轉：旋轉中心在旋轉過程中保持不動。 旋轉的特征：圖形中每一點都繞著旋轉中心旋轉了同樣大小的角度，對應的點到中心的距離相等，對應線段、角均相等。 旋轉對稱圖形：旋轉一定角度后能與自身重合。 3.4 簡單的旋轉作圖 一、學習目標定位 1．經(jīng)歷對具有旋轉特征的圖形進行觀察、分析、動手操作和畫圖等過程，掌握畫圖技能。 2．能夠按要求作出簡單平面圖形旋轉后的圖形。 二、重點難點解析 重點：利用基本作圖求作簡單圖形旋轉后的圖形。 難點：正確運用作圖的步驟，正確運用作圖語言。 三、教學過程 （一）巧設情景問題，引入課題 上節(jié)課我們探討了生活中的旋轉，那什么樣的運動是旋轉呢？ 旋轉有什么性質呢？ 大家來看一面小旗子(出示小旗子，然后一邊演示一邊敘述)，把這面小旗子繞旗桿底端旋轉90后，這時小旗子的位置發(fā)生了變化，形成了新的圖案，你能把這時的圖案畫出來嗎？ 在原圖上找了四個點，即O點、A點、B點、C點，如圖(教師把該生所畫的圖在投影上放影)這四個點可以是能表示這面小旗子的關鍵點.因為旋轉前后兩個圖形的對應點到旋轉中心的距離相等，對應點與旋轉中心的連線所組成的旋轉角彼此相等，所以根據(jù)已知：要把這面小旗繞O點按順時針旋轉90.我在方格中找到點A、B、C的對應點A′、B′、C′，然后連接，就得到了所求作的圖形. 同學們在作圖過程中， 基本掌握了作圖的一個要點：（1）定好旋轉中心，認準旋轉方向，確定旋轉角度。 （2）找圖形的關鍵點。 這面小旗子是結構簡單的平面圖形，在方格紙上大家能畫出它繞點旋轉后的圖形，那么在沒有方格紙或旋轉角不是特殊角的情況下，能否也畫出簡單平面圖形旋轉后的圖形呢？ 這節(jié)課我們就來研究：簡單的旋轉作圖. （二）講授新課 我們通過一例題來說明簡單圖形旋轉后的圖形的作法 例1：如圖，△ABC繞O點旋轉后，頂點A的對應點為點D，試確定頂點B、C對應點的位置，以及旋轉后的三角形. 分析：一般作圖題，在分析如何求作時，都要先假設已經(jīng)把所求作的圖形作出來，然后再根據(jù)性質，確定如何操作. 假設頂點B、C的對應點分別為點E、點F，則∠BOE、∠COF、∠AOD都是旋轉角. △DEF就是△ABC繞點O旋轉后的三角形。根據(jù)旋轉的性質知道：經(jīng)過旋轉，圖形上的每一點都繞旋轉中心沿相同方向轉動了相同的角度，即旋轉角相等，對應點到旋轉中心的距離相等，則∠BOE=∠COF=∠AOD，OE=OB，OF=OC，這樣即可求作出旋轉后的圖形。 使用直尺和圓規(guī)，把這一旋轉后的圖形作出來，要注意把痕跡保留下來. (教師一邊敘述，板書作法，一邊強調正確使用直尺、圓規(guī)，同時作圖；學生作圖) 解：(1)連接OA、OD、OB、OC. (2)如下圖，分別以OB、OC為一邊作∠BOE、∠COF，使得∠BOE=∠COF=∠AOD. (3)分別在射線OE、OF上截取OE=OB、OF=OC. (4)連接EF、ED、FD. △DEF,就是△ABC繞O點旋轉后的圖形. 本題還有沒有其他作法，可以作出△ABC繞O點旋轉后的圖形△DEF嗎？ (同學們討論、歸納) 答：1.可以先作出點B的對應點E，連結DE，然后以點D、E為圓心，分別以AC、BC為半徑畫弧，兩弧交于點F，連結DF、EF，則△DEF就是△ABC繞點O旋轉后的圖形. 2.也可以先作出點C的對應點F，然后連結DF.因為△ABC與△DEF全等，所以既可以用兩邊夾角，也可以用兩角夾邊，找到點B的對應點E，即△DEF. .接下來，大家來看課本71頁想一想： 答：還需要知道繞哪個點旋轉，旋轉的角度是多少？就是要知道旋轉中心和旋轉角. 確定一個三角形旋轉后的位置的條件為： (1)三角形原來的位置；(2)旋轉中心 ；（3）旋轉方向；(4)旋轉角。 （三）課堂練習 課本P83隨堂練習. 解：如下圖，先確定字母N的四個端點繞它右下側的頂點按順時針方向旋轉90后的位置，然后連線. 四、歸納小結 本節(jié)課我們通過作平面圖形旋轉后的圖形，進一步理解了旋轉的性質，并且還知道要確定一個三角形旋轉后的位置，需要有：此三角形原來的位置；旋轉中心；旋轉方向；旋轉角等三個條件。 3.5它們是怎樣變過來的 一、學習目標定位 1．理解平移、旋轉的概念。 2．掌握軸對稱的概念。 二、重點難點解析 重點：圖形之間的變換關系（軸對稱、平移、旋轉及其組合）。 難點：圖形之間多種變換關系的確定與表述。 三、教學過程 1、情境導入 播放自制圖形形成的影片，如圖3—5—1。 圖3—5—1 2、充分利用本課時引入開放性的問題：上圖是由四部分組成，每部分都包括兩個小“十”字，其中一部分能經(jīng)過適當?shù)男D得到其他三部分嗎？能經(jīng)過平移嗎？能經(jīng)過軸對稱嗎？還有其它方式嗎？ 讓學生自由發(fā)揮，各抒已見，然后進行適當歸納小結： 整個圖形可以看做是由一個“十”字組成部分通過連續(xù)七次平移前后的圖形共同組成； 整個圖形也可以看做是由左邊的兩個“十”字組成的部分通過三次放置形成的； 整個圖形不定期可以看做把左邊的兩個“十”字組成的部分先通過平移一次形成左右四個“十”字組成的圖形，然后繞圖形中心旋轉90度前后的圖形共同組成； 整個圖形還可以看做把左邊的兩個“十”字組成的部分通過二次軸對稱形成的。 ……（學生可能還有其他不同描述，教師應予以肯定） 3、通過上述問題的討論，我們看到圖形的平移、旋轉，軸對稱變換是圖形變換中最基本的三種變換方式，它們是今后設計圖案的主要手段。 4、利用“想一想”你能將圖3—5—2的左圖，通過平移或旋轉得到右圖嗎？ 圖3—5—2 學生議論或動手操作會發(fā)現(xiàn)這是不可能的，教材意圖十分明確，要告訴學生并不是所有圖形都可以通過一次平移或旋轉而得到的，從而要求我們今后分析圖形之間的關系時，要充分利用它們各自的性質、特征正確判斷和識別。那么上述圖形能通過軸對稱變換從左圖變成右圖嗎？進一步讓學生思考，從而得到結論是可能的。 5、例1 怎樣將圖3—5—3中的甲圖變成乙圖案？ 圖3—5—3 通過相對簡單活潑的問題，讓學生能運用圖形變換的幾種不同方式解答問題（先旋轉再平移后等到或先平移后旋轉也可以） 6、練習：隨堂練習：P86 1、 （1）以右圖案的中心為旋轉中心，將圖案按逆時針方向旋轉900 。 （2）以右圖案的中心為旋轉中心，將圖案順逆時針方向旋轉2700 。 2、是由三個正三角形拼成的，它可以看做由其中一個三角形經(jīng)過怎樣的變換而得到？ 練習：P86 習題3.6 四、歸納小結： （1）平移變換與旋轉變換都不改變圖形的形狀和大小； （2）經(jīng)過平移，對應角相等；對應線段平行且相等；對應點所連的線段平行且相等； （3）經(jīng)過旋轉，圖形上的每一點都繞旋轉中心沿相同方向轉動了相同的角度，任意一對對應點與旋轉中心的連線所成的角都是旋轉角，對應點到旋轉中心的距離相等。 3.6簡單的圖案設計 一、學習目標定位 1．通過觀察圖形，發(fā)展空間觀念。 2．能夠靈活運用平移、旋轉與軸對稱的組合進行一定的圖案設計。 二、重點難點解析 重點：1、認識和欣賞平移、旋轉在現(xiàn)實生活中的應用，進一步發(fā)展空間觀念，增強審判意識。 2、能靈活運用平移、旋轉與軸對稱的組合進行一定的圖案設計。 難點：運用平移、旋轉和軸對稱的組合進行圖案設計。 三、教學過程設計： 1、情境導入：在優(yōu)美的音樂中，逐個展示生活中常見的典型圖案，并讓學生試著說一說每種圖案標志的對象。（展示課本圖3—23） 明確在欣賞了圖案后，簡單地復習平移、旋轉的概念，為下面圖案的設計作好理論準備。對教材給出的六個圖案通過觀察、分析進行議論交流，讓學生初步了解圖案的設計中常常運用圖形變換的思想方法，為學生自己設計圖案指明方向。其中圖（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）都可以通過旋轉適合角度形成（可以讓學生自己說說每個旋轉的角度和旋轉的次數(shù)及旋轉中心的位置），另外圖（2）、（3）、（5）也可以通過軸對稱變換形成（可以讓學生指出對軸對稱及對稱軸的條數(shù)），而圖（2）可以通過平移形成。 2、課本例1 并分析這個圖案形成過程。 評注：圖案是密鋪圖案的代表，旨在通過對典型圖案的分析欣賞，使學生逐步能夠進行圖案設計，同時了解軸對稱、平移、旋轉變換是圖案制作的基本手段。例題解答的關鍵是確定“基本圖案”，然后再運用平移、旋轉關系加以說明，注意旋轉中心可以為圖形上某一特征的點。 評注：可以取其中的任何一個為基本圖案，然后通過變換得到。而且變化方式也可以是：左下角的圖案通過軸對稱變換得到左上圖和右下圖。 （二）課內練習 （1） 以小組為單位，由每組指定一個同學展示該組搜集得到的圖案，并在全班交流。 （2） 利用下面提供的基本圖形，用平移、旋轉、軸對稱、中心對稱等方法進行圖案設計，并簡要說明自己的設計意圖。 （三）議一議 生活中還有那些圖案用到了平移或旋轉？分析其中的一個，并與同伴進行交流。 四、歸納小結 圖形的平移、旋轉與前面學習過的“生活中的軸對稱”一樣，定位于“生活中的變換現(xiàn)象進行觀察、分析、抽象和概括”，使我們全面了解圖形平移、旋轉及其與軸對稱的關系，為今后在圖形變換方面的發(fā)展提供較為厚實的基礎，尤其是體會一些典型圖案的設計意圖，盡可能全面地體現(xiàn)素材的現(xiàn)實性和問題的挑戰(zhàn)性。 本章內容小結 一、 構建知識網(wǎng)絡 在活動中強化認識、回味、反思 數(shù)學內容現(xiàn)實化 簡單的圖案欣賞設計 簡單圖形的平移旋轉關系分析 數(shù)學內容規(guī)律化 旋轉的基本規(guī)律 簡單的旋轉作圖 簡單的平移作圖 平移的基本規(guī)律 生活中的軸對稱 觀察分析生活中的平移和旋轉現(xiàn)象 現(xiàn)實問題數(shù)學化 二、復習指導 平移、旋轉與軸對稱（以及以后要學習的中心對稱等）都是圖形之間的一些主要變換，在這些變換中，線段的長度與角的大小都沒有改變，圖形的形狀與大小都沒有發(fā)生變化。 在幾何的有些問題中，已知條件分散，不易發(fā)現(xiàn)圖形中量與量之間的內在聯(lián)系，難以找到恰當?shù)膱D形性質與解題的途徑，這時通過恰當?shù)膸缀巫儞Q，將已知條件集中、改變問題的情景，發(fā)現(xiàn)圖形的性質，找到解決問題的關鍵，會給我們的解題帶來意想不到的效果。