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3.3.2 函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù) 教學(xué)設(shè)計(jì) 一、教學(xué)目標(biāo) 1 知識與技能 〈1〉結(jié)合函數(shù)圖象，了解可導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件 〈2〉理解函數(shù)極值的概念，會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值與極小值 2 過程與方法 結(jié)合實(shí)例，借助函數(shù)圖形直觀感知，并探索函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系。 3 情感與價(jià)值 感受導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中一般性和有效性，通過學(xué)習(xí)讓學(xué)生體會(huì)極值是函數(shù)的局部性質(zhì)，增強(qiáng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思維意識。 二、重點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值 難點(diǎn)：函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件與充分條件 三、教學(xué)基本流程 回憶函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，與已有知識的聯(lián)系 提出問題，激發(fā)求知欲 組織學(xué)生自主探索，獲得函數(shù)的極值定義 通過例題和練習(xí)，深化提高對函數(shù)的極值定義的理解 四、教學(xué)過程 〈一〉、創(chuàng)設(shè)情景，導(dǎo)入新課 1、通過上節(jié)課的學(xué)習(xí)，導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系是什么？ （提問學(xué)生回答） 2．觀察圖1.3.8 表示高臺跳水運(yùn)動(dòng)員的高度h隨時(shí)間t變化的函數(shù)=-4.9t2+6.5t+10的圖象，回答以下問題 （1）當(dāng)t=a時(shí)，高臺跳水運(yùn)動(dòng)員距水面的高度最大，那么函數(shù)在t=a處的導(dǎo)數(shù)是多少呢？ （2）在點(diǎn)t=a附近的圖象有什么特點(diǎn)？ （3）點(diǎn)t=a附近的導(dǎo)數(shù)符號有什么變化規(guī)律？ 共同歸納: 函數(shù)h(t)在a點(diǎn)處h/(a)=0,在t=a的附近,當(dāng)t＜a時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增, ＞0;當(dāng)t＞a時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減, ＜0,即當(dāng)t在a的附近從小到大經(jīng)過a時(shí), 先正后負(fù),且連續(xù)變化,于是h/(a)=0. 3、對于這一事例是這樣，對其他的連續(xù)函數(shù)是不是也有這種性質(zhì)呢？ <二>、探索研討 1、觀察1.3.9圖所表示的y=f(x)的圖象，回答以下問題： （1）函數(shù)y=f(x)在a.b點(diǎn)的函數(shù)值與這些點(diǎn)附近的函數(shù)值有什么關(guān)系? （2） 函數(shù)y=f(x)在a.b.點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值是多少? （3）在a.b點(diǎn)附近, y=f(x)的導(dǎo)數(shù)的符號分別是什么，并且有什么關(guān)系呢? 2、極值的定義: 我們把點(diǎn)a叫做函數(shù)y=f(x)的極小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)y=f(x)的極小值； 點(diǎn)b叫做函數(shù)y=f(x)的極大值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)y=f(x)的極大值。 極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)稱為極值點(diǎn), 極大值與極小值稱為極值. 3、通過以上探索，你能歸納出可導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)x0取得極值的充要條件嗎？ 充要條件：f(x0)=0且點(diǎn)x0的左右附近的導(dǎo)數(shù)值符號要相反 4、引導(dǎo)學(xué)生觀察圖1.3.11，回答以下問題： （1）找出圖中的極點(diǎn)，并說明哪些點(diǎn)為極大值點(diǎn)，哪些點(diǎn)為極小值點(diǎn)？ （2）極大值一定大于極小值嗎？ 5、隨堂練習(xí): 1 如圖是函數(shù)y=f(x)的函數(shù),試找出函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn),并指出哪些是極大值點(diǎn),哪些是極小值點(diǎn).如果把函數(shù)圖象改為導(dǎo)函數(shù)y=的圖象? <三>、講解例題 例4 求函數(shù)的極值 教師分析:①求f/(x),解出f/(x)=0,找函數(shù)極點(diǎn)； ②由函數(shù)單調(diào)性確定在極點(diǎn)x0附近f/(x)的符號,從而確定哪一點(diǎn)是極大值點(diǎn),哪一點(diǎn)為極小值點(diǎn),從而求出函數(shù)的極值. 學(xué)生動(dòng)手做,教師引導(dǎo) 解:∵∴=x2-4=(x-2)(x+2) 令=0,解得x=2,或x=-2. 下面分兩種情況討論: (1) 當(dāng)＞0,即x＞2,或x＜-2時(shí); (2) 當(dāng)＜0,即-2＜x＜2時(shí). 當(dāng)x變化時(shí), ,f(x)的變化情況如下表: x (-∞,-2) -2 (-2,2) 2 (2,+∞) + 0 _ 0 + f(x) 單調(diào)遞增 單調(diào)遞減 單調(diào)遞增 因此,當(dāng)x=-2時(shí),f(x)有極大值,且極大值為f(-2)= ;當(dāng)x=2時(shí),f(x)有極 小值,且極小值為f(2)= 函數(shù)的圖象如: 歸納：求函數(shù)y=f(x)極值的方法是: 1求,解方程=0,當(dāng)=0時(shí): (1) 如果在x0附近的左邊＞0,右邊＜0,那么f(x0)是極大值. (2) 如果在x0附近的左邊＜0,右邊＞0,那么f(x0)是極小值 <四>、課堂練習(xí) 1、求函數(shù)f(x)=3x-x3的極值 2、思考：已知函數(shù)f（x）=ax3+bx2-2x在x=-2，x=1處取得極值, 求函數(shù)f（x）的解析式及單調(diào)區(qū)間。 <五>、課后思考題： 1、 若函數(shù)f(x)=x3-3bx+3b在（0，1）內(nèi)有極小值，求實(shí)數(shù)b的范圍。 2、 已知f(x)=x3+ax2+(a+b)x+1有極大值和極小值，求實(shí)數(shù)a的范圍。 <六>、課堂小結(jié): 1、 函數(shù)極值的定義 2、 函數(shù)極值求解步驟 3、 一個(gè)點(diǎn)為函數(shù)的極值點(diǎn)的充要條件。 教學(xué)反思: 本節(jié)的教學(xué)內(nèi)容是導(dǎo)數(shù)的極值,有了上節(jié)課導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性作鋪墊,借助函數(shù)圖形的直觀性探索歸納出導(dǎo)數(shù)的極值定義,利用定義求函數(shù)的極值.教學(xué)反饋中主要是書寫格式存在著問題.為了統(tǒng)一要求主張用列表的方式表示,剛開始學(xué)生都不愿接受這種格式,但隨著幾道例題與練習(xí)題的展示,學(xué)生體會(huì)到列表方式的簡便,同時(shí)為能夠快速判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù),我要求學(xué)生盡量把導(dǎo)數(shù)因式分解.本節(jié)課的難點(diǎn)是函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件與充分條件,為了說明這一點(diǎn)多舉幾個(gè)例題是很有必要的.在解答過程中學(xué)生還暴露出對復(fù)雜函數(shù)的求導(dǎo)的準(zhǔn)確率比較底,以及求函數(shù)的極值的過程板書仍不規(guī)范,看樣子這些方面還要不斷加強(qiáng)訓(xùn)練. 研討評議: 教學(xué)內(nèi)容整體設(shè)計(jì)合理,重點(diǎn)突出,難點(diǎn)突破,充分體現(xiàn)教師為主導(dǎo),學(xué)生為主體的雙主體課堂地位,充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性,教師合理清晰的引導(dǎo)思路,使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維得到培養(yǎng)和提高,教學(xué)內(nèi)容容量與難度適中,符合學(xué)情,并關(guān)注學(xué)生的個(gè)體差異,使不同程度的學(xué)生都得到不同效果的收獲.